關於如何處理包含奇點的積分（一）

05-15

積分的時候遇到奇點有一個辦法就是：孤立它，並估計它對整個積分的影響

我將舉三個例子來說明這個思路，三個例子分別是：

解Poisson方程的例子
Cauchy積分公式以及留數的例子
熱方程初值問題的解 $L^{2}$ 收斂到初值

1.解Poisson方程

Lemma 1：（Green第一恆等式）

$int_{U}^{ }(psi Delta varphi +igtriangledown{psi }cdot igtriangledown{varphi })dV=int_{partial U}^{} (psi igtriangledownvarphi ) extbf{dS}$

Lemma 2:(Lebesgue微分定理)

如果函 $fin L_{loc}^{1} (R^{n} )$ 那麼滿足

$lim{frac{1}{m(B)} int_{B}^{} f(y)dy}=f(x)$ 對於x幾乎處處成立

Def 1:

$Phi (x):=frac{1}{2pi } log|x|$ 當 $xin R^{2}$ or $frac{1}{n(n-2)alpha (n)}frac{1}{|x|^{n-2} }$ 當 $xin R^{n}$ , $ngeq 3$

這是laplace方程的基本解

Def 2:

$u(x)=Phi ast f(x)=int_{R^{n} }^{}Phi (x-y)f(y)dy$

其中 $fin C_{c}^{2}(R^{n} )$ ,即具有緊支集的二次連續可微函數

eg 1:

Def 2 中定義的函數 $u(x)in C^{2}(R^{n} )$ 並且滿足Poisson方程即

$-Delta u=f$ ， $xin R^{n}$ , $ngeq 2$

Proof:

第一個實際上是比較顯然的，卷積的連續性是很容易保證的，並且只要回憶卷積的微分公式可知：

$frac{partial ^{2}u }{partial x_{i}partial x_{j} }=int_{R^{n} }^{}Phi (y) frac{partial ^{2}f }{partial x_{i}partial x_{j} }(x-y)dy$

很容易知道 $u(x)in C^{2}(R^{n} )$

重點是證明這這個函數是滿足Poisson方程的

這裡主要遇到的問題是函數 $x=0$ 是函數的奇點，因此我們需要對積分去做一個處理，處理的方法就取一個小球 $B(0,varepsilon )$ 把奇點孤立起來

$Delta u(x)=int_{B(0,varepsilon ) }^{}Phi (y)Delta _{x} f(x-y)dy +int_{R^{n} -B(0,varepsilon )}^{}Phi (y)Delta _{x}f(x-y)dy$

接下來我們將單獨估計積分右邊的兩部分在整個積分裡面所佔的分量，分別將右邊兩部分積分定義為 $I_{varepsilon }$ 與 $J_{varepsilon }$

首先是 $I_{varepsilon }$

$|I_{varepsilon } |leq ||Df||_{L_{} ^{infty }(R^{n} ) } int_{B(0,varepsilon ) }^{}|Phi (y)|dy leq$ $Cvarepsilon ^{2}|logvarepsilon |$ 當 n=2 或者 $Cvarepsilon$ 當 $ngeq 3$

接下來是 $J_{varepsilon }$ ，這個稍微麻煩一點，第一步的處理需要用到Green 第一恆等式

$|J_{varepsilon } |=$ $int_{R^{n}- B(0,varepsilon )}^{}Phi (y)Delta _{y} f(x-y)dy$

= $-int_{R^{n}- B(0,varepsilon ) }^{}igtriangledown{Phi (y)}cdot igtriangledown_{y} {f(x-y)}dy$ + $int_{partial B(0,varepsilon )}^{}Phi (y)igtriangledown_{y} {f(x-y)} extbf{ds}$

$:=K_{varepsilon } +L_{varepsilon }$

同 $|I_{varepsilon } |$ 的估計有

$|L_{varepsilon } |leq ||Df||_{L_{} ^{infty }(R^{n} ) } int_{partial B(0,varepsilon ) }^{}|Phi (y)| extbf{ds} leq$ $Cvarepsilon ^{2}|logvarepsilon |$ 或者 $Cvarepsilon$ 當 $ngeq 3$