標籤：

晶體物理競賽

原子鏈

05-15

tex實在麻煩，直接貼圖了.

單原子鏈

考慮質量為 $M$ 的全同原子兩兩成鍵，鍵力係數為 $k$ , 原子鏈向兩側無窮遠延伸. 任取一個原子編號為0，其餘原子編號為±1 , ±2 , ... ；設n 號原子的位移為 $x_n$ , 並記 $omega_0 :=k/M$ , 有 $ddot{x}_n=omega_0^2left(x_{n-1}-2x_n+x_{n+1} ight)$

由於系統是只有相鄰項線性耦合的，猜測解有如下遞推形式

$x_{n+1}=x_n{eta}quad eta in mathbb{C}$

則

$ddot x _n = omega_0 ^2 ,x_{n-1}!left( 1-eta ight) ^3$

假設 $x_{n-1}$ 有諧振形式 $a e^{iomega t}$ , 積分上式有

$x_n = - {omega_0^2over omega^2},x_{n-1}(1-eta)^3$

相容條件為

$eta = - {omega_0^2overomega^2}(1-eta)^3$

解出 $eta$ , 並記 ${omega^2/omega_0^2}=: r$ ,

$eta_{pm}=1-{rover2}pm sqrt{r{({rover 4}-1)}}$ .

a) $frac{r}{4}> 1$ , $eta$ 為實數，振動隨標號指數增長或衰減 .

b) $r=4$ , 相鄰原子反向振動，相當於各原子振動互不相干.

c) $0<r<4$ .

v下麵糊掉的那行字是：將格波解回代入運動方程.

下麵糊掉的式子是

$Theta_s= {1oversqrt{m}}sum_{n=1}^{N}{sum_{k=-infty }^{+infty}{f_{nk}e^{i(kOmega t-{2pi n over N}s)}}}$

推薦閱讀：

TAG:物理競賽 | 晶體 |