多復變第一課-Poincare定理

05-14

多復變是20世紀初興起的一門學科，看似是把單復變的推廣，但與單復變有著很大的區別，如單復變中熟知的Riemann映射定理（不是整個複平面的單連通區域將全純同胚於開圓盤），在多復變中將不在成立，本節我們將給出一個例子（Poincare定理）以及它的證明.

記 $mathbb{C}^n=left{ (z_1,cdotcdotcdot,z_n):z_kin mathbb{C},k=1,cdotcdotcdot,n ight}$ 給定 $a=(a_1,cdotcdotcdot,a_n)in mathbb{C}^n$ $r=(r_1,cdotcdotcdot,r_n)in R_+^n$ ，以 $a$ 為中心 $r$ 為半徑的（開）多圓柱定義為： $Delta(a,r)=left{ (z_1,cdotcdotcdot,z_n)in mathbb{C}^n:left| z_k-a_k ight|<r_k,k=1,cdotcdotcdot,n ight}$

以 $a$ 為圓心,， $R>0$ 為半徑的開球定義為： $B(a,R)=left{ (z_1,cdotcdotcdot,z_n)in mathbb{C}^n:sum_{k=1}^nleft| z_k-a_k ight|^2<R^2 ight}$

特別地，當 $a=(0,cdotcdotcdot,0)in mathbb{C}^n$ , $r=(1,cdotcdotcdot,1)$ ,稱 $Delta(a,r)$ 為單位多圓柱,記為 $Delta^n$

當 $R=1$ ，稱 $B(a,R)$ 為單位球，記為 $B^n$ .

這裡值得注意的是指定了開球之後我們就給 $mathbb{C}^n$ 賦予了一個拓撲結構，所謂開集是任意多個開球的並，這個拓撲和用Hermitian內積產生的拓撲是一樣的. $mathbb{C}^n$ 中的區域是指連通開集.

以下設 $Omega$ 為 $mathbb{C}^n$ 的區域，

全純函數 $Omega$ 上的全純函數 $f:Omega ightarrowmathbb{C}$ 是指 $forall ainOmega$ ， $a=(a_1,cdots,a_n)$ , $exists a$ 的開鄰域 $UsubsetOmega$ s.t.在 $U$ 上 $f$ 等於某復係數多元冪級數（類比單復變中的全純函數） $sum_{k_1=0}^inftysum_{k_2=0}^inftycdotcdotcdotsum_{k_n=0}^infty c_{k_1 k_2cdotcdotcdot k_n}(z_1-a_1)^{k_1}(z_2-a_2)^{k_2}cdots (z_n-a_n)^{k_n}$

為簡便計，引入多重指標 $k=(k_1,cdots,k_n)inmathbb{N}^n$ , $z=(z_1,cdotcdotcdot,z_n)in mathbb{C}^n$ ,

上面的多元冪級數記作 $sum_{kinmathbb{N}^n}c_k(z-a)^k$ ，但這裡很明顯有一個關於冪級數收斂性的問題，下面的Abel引理解決了這一問題：

Abel引理 1）若冪級數 $sum_{kinmathbb{N}^n}c_kz^k$ 在 $a=(a_1,cdots,a_n)$ 處收斂，且 $a_j e0,j=1,cdots,n$ ,設 $0leq r_j<left| a_j ight|$ ,那麼它在閉多圓柱 $arDelta(0,r)=left{ (z_1,cdotcdotcdot,z_n)in mathbb{C}^n:left| z_j ight|leq r_j,j=1,cdotcdotcdot,n ight}$ 上絕對且一致收斂

2）設 $z_j=x_j+iy_j,x_j,u_jinmathbb{R}$ ，那麼給定多重指標 $etainmathbb{N}^{2n}$ ,多元冪級數的偏導數 $sum_{kinmathbb{N}^n}c_kfrac{partial^eta}{(partial xpartial y)^eta}z^k$ 在 $arDelta(0,r)$ 上絕對且一致收斂

3）設 $Omega$ 為1）中的冪級數的收斂域，此冪級數在 $Omega$ 的任意緊緻子集 $K$ 上絕對且一致收斂

證明：我們只證明1）,其餘兩條與1）類似，讀者可自證冪級數 $sum_{kinmathbb{N}^n}c_ka^k$ 收斂的必要條件是所有項的模的上確界存在（Cauchy收斂準則），從而設此上確界為 $M$ ，有 $left| c_k ight|leqfrac{M}{left| a_1 ight|^{k_1}cdotsleft| a_n ight|^{k_n}}$ , 當 $left| z_j ight|leq r_j$ ,有 $left| c_k z ight|leqfrac{Mleft| z_1 ight|^{k_1}cdotsleft| z_n ight|^{k_n}}{left| a_1 ight|^{k_1}cdotsleft| a_n ight|^{k_n}}leqfrac{Mleft| r_1 ight|^{k_1}cdotsleft| r_n ight|^{k_n}}{left| a_1 ight|^{k_1}cdotsleft| a_n ight|^{k_n}}$ 從而 $left| sum c_k z ight|leqsumleft| c_k z ight|leqsumfrac{Mleft| r_1 ight|^{k_1}cdotsleft| r_n ight|^{k_n}}{left| a_1 ight|^{k_1}cdotsleft| a_n ight|^{k_n}}$ ,最後一個和式是與 $z$ 無關的常數，由數學分析中的M-判別法1）得證

註：回到全純函數的定義中，假定它在 $a$ 點鄰域內的冪級數展開式有一點是收斂的，那麼可以適當縮小鄰域使得該冪級數在縮小後的鄰域中收斂.

以後把 $Omega$ 上的全部全純函數集記為 $A(Omega)$

類似於單復變，引入運算元 $frac{partial}{partial z_j}=frac{1}{2}(frac{partial}{partial x_j}-ifrac{partial}{partial y_j});frac{partial}{ partial ar z_j}=frac{1}{2}(frac{partial}{partial x_j}+ifrac{partial}{partial y_j})$

由全純函數的冪級數展開知 $frac{partial ar f(z)}{partial z_j}=0$ ， $j=1,cdots,n$ ；由Abel引理2）可知，區域上的全純函數對於 $z_j$ 是任意階可導的,並且導數也是原區域上的全純函數.

藉助Abel引理2)可知，若全純函數 $f:Omega ightarrowmathbb{C}$ 在 $a$ 的開鄰域 $U$ 中有冪級數展開 $sum_{kinmathbb{N}^n}c_k(z-a)^k$ ，則 $f$ 任意階可導，且有 $c_k=frac{1}{k!}frac{partial^k f(a)}{(partial z)^k}=frac{(D^kf)(a)}{k!}$ 那麼就有Taylor展開式 $sum_{kinmathbb{N}^n}frac{(D^kf)(a)}{k!}(z-a)^k$ 註：由於 $k$ 是多重指標， $k=(k_1,cdots,k_n),$ $frac{partial^k f(a)}{(partial z)^k}$ 指 $frac{partial^{k_1+cdots+k_n} f(z)}{partial z_1^{k_1}cdotspartial z_n^{k_n}}$ 在點 $a$ 處的值

全純映照 若 $Omega_1$ 是 $mathbb{C}^n$ 的開區域， $f_1,cdots,f_min A(Omega_1)$ ,定義函數 $F:Omega_1 ightarrowmathbb{C}^m$ , $F=(f_1,cdots,f_m)$ ，稱之為全純映照，特別地，若 $ImFsubsetmathbb{C}^m$ 中的某個開區域 $Omega_2$ , 可以記 $F:Omega_1 ightarrowOmega_2$ ,如果 $F$ 是單滿射（雙射），則稱 $F$ 為 $Omega_1,Omega_2$ 的全純同胚

註：不加證明地闡述如下事實， $F$ 是全純同胚的必要條件是 $m=n$ ;另外 $F$ 是雙射並不顯然導出它的反函數 $F^{-1}$ 是全純映照（實解析函數中的 $y=x^3$ ），但可以證明它是全純映照

介紹完了基本概念後，本文將逐步給出下面的Poincare定理的證明：

Poincare定理 雖然 $Delta^n,B^n$ 拓撲同胚，但是不存在它們之間的全純同胚(當 $ngeq2$ )

證明思路如下：Cauchy積分公式 $ightarrow$ Cauchy不等式 $ightarrow$ Montel定理

Montel定理，極大模定理 $ightarrow$ Poincare定理

Cauchy積分公式 $fin A(Omega)$ ,如果 $arDelta(a,r)subsetOmega$ ,則 1） $forall zin Delta(a,r)$ $f(z)=frac{1}{{(2pi i)}^n}int_{left| xi_1-a_1 ight|=r_1}cdotsint_{left| xi_n-a_n ight|=r_n}frac{f(xi_1,cdots,xi_n)}{(xi_1-z_1)cdots(xi_n-z_n)}dxi_1cdots d xi_n$

2)當 $Omega=Delta(0,r)$ , $f(z)$ 有固定的Taylor展開 $sum_{kinmathbb{N}^n}frac{D^k f(0)}{k!}z^k$ 對 $forall zin Delta(0,r)$

證明：1）不斷對一個固定變數利用單復變的Cauchy公式：

$frac{1}{{(2pi i)}^n}int_{left| xi_1-a_1 ight|=r_1}cdotsint_{left| xi_n-a_n ight|=r_n}frac{f(xi_1,cdots,xi_n)}{(xi_1-z_1)cdots(xi_n-z_n)}dxi_1cdots d xi_n$

$=frac{1}{{(2pi i)}^{(n-1)}}int_{left| xi_2-a_2 ight|=r_2}cdotsint_{left| xi_n-a_n ight|=r_n}frac{f(z_1,xi_2,cdots,xi_n)}{(xi_2-z_2)cdots(xi_n-z_n)}dxi_2cdots d xi_n$

$=dots=f(z)$

2)取 $Delta(0,r)$ 的緊緻子集 $arDelta(0, ho), ho_j<r_j,j=1,cdots,n$ ,

取 $arDelta(0, ho)$ 的緊子集 $arDelta(0,(1-varepsilon) ho)$ , $0<varepsilon<1$ ,

在這個緊子集上，（1）中的分式可展成絕對且一致收斂的冪級數如下：

$frac{1}{(xi_1-z_1)cdots(xi_n-z_n)}=sum_{k_1,cdots,k_n}^{+infty}frac{z_1^{k_1}cdots z_n^{k_n}}{xi_1^{k_1+1}cdots xi_n^{k_n+1}}$ 代入1）中由 $ho$ 的任意性得證

Cauchy不等式 $fin A(Omega)$ ， $arDelta(a,r)subsetOmega$ ，則 $left| f^{(k)}(a) ight|leq Mfrac{k!}{r^k}$ , $forall kinmathbb{N}^n$

其中 $M=supleft{left| f(xi) ight|:left| xi_1-a_1 ight|=r_1,cdots,left| xi_n-a_n ight|=r_n ight}$

證明：由Cauchy積分公式中，有 $left| f^{(k)}(a) ight|$

$leqfrac{k!}{(2pi)^n}int_{left| xi_1-a_1 ight|=r_1}cdotsint_{left| xi_n-a_n ight|=r_n}frac{left|f(xi_1,cdots,xi_n) ight|}{left|xi_1-z_1 ight|cdotsleft|xi_n-z_n ight|}left|dxi_1 ight|cdots left|d xi_n ight|$

$leq frac{k!}{(2pi)^n}frac{M}{{r_1}^{k_1+1}cdots{r_n}^{k_n+1}}{(2pi)}^nr_1cdots r_n=Mfrac{k!}{r^k}$ ,證畢

Montel定理 函數列 $left{f_n ight}_{n=1}^infty$ ,其中 $f_nin A(Omega)$ ,在 $Omega$ 的任意緊子集上一致有界，那麼存在一個子列 $left{f_{n_v} ight}_{v=1}^infty$ 在 $Omega$ 的任意緊子集上一致收斂

證明： $forall ain Omega$ ,取(非空)緊集 $arDelta(a,r)subsetOmega$ ,由Cauchy不等式知 $sup_{arDelta(a,r)}left| frac{partial f_n}{partial z_j} ight|leq frac{1}{r_j}sup_{arDelta(a,r)}left| f_n ight|$ ,從而 $left|frac{partial f_n}{partial z_j} ight|$ 在 $arDelta(a,r)$ 上一致有界，

從而， $left|frac{partial f_n}{partial x_j} ight|,left|frac{partial f_n}{partial y_j} ight|$ 在 $arDelta(a,r)$ 上一致有界，分別對 $f_n$ 的實部和虛部用中值定理，

知它是等度連續的，由數學分析中的Arzela-Ascoli定理， $left{f_n ight}_{n=1}^infty$ 中有一致收斂子列

用可列個緊集窮竭區域 $Omega$ ，不斷對 $left{f_n ight}_{n=1}^infty$ 取子列（第一次取出 $left{f_{n_{i_1}} ight}$ ,第二次從這個子列裡面再抽出子列 $left{f_{n_{i_2}} ight}$ ， $cdots$ 從第 $l$ 個子列中選出第 $l$ 個函數，得到一個子列，它對於每個緊集都一致收斂，從而證畢）

註：可證這個定理中的局部一致有界是存在一致收斂子列的充要條件

引理若 $Omega_1$ 是 $mathbb{C}^n$ 的開區域， $F:Omega_1 ightarrowmathbb{C}^m$ ， $F=(f_1,cdots,f_m),f_jin A(Omega_1)$ ，

若 $left| F(z) ight|^2=sum_{j=1}^mleft| f_j(z) ight|^2$ 為常數，則 $ImF$ 為 $mathbb{C}^m$ 中的一個點

證明： $0=frac{partial^2}{partial z_tpartial ar z_t}sum_{j=1}^mleft| f_j(z) ight|^2=sum_{j=1}^mleft|frac{partial f_j(z)}{partial z_t} ight|^2$ , $t=1,cdots,n$ .

從而 $left|frac{partial f_j(z)}{partial z_t} ight|=0$ , $forall k,t$ 從而 $f_j$ 為常值證畢

註：這裡用到 $frac{partial f_j(z)}{partial ar z_t}=0=frac{partial ar f_j(z)}{partial z_t}$ ,以及 $overline{(frac{partial f_j(z)}{partial z_t})}=frac{partial ar f_j(z)}{partial ar z_t}$

極大模原理 1）設 $fin A(Omega)$ , $f$ 不恆為常數，則 $left| f ight|$ 不在 $Omega$ 中的點取最大值

2）設 $F:Omega ightarrowmathbb{C}^m$ 是不為常數的全純映照，則 $left| F ight|$ 不在 $Omega$ 中的點取最大值

證明：1）這是開映射定理的自然推論，即 $f(Omega)$ 是 $mathbb{C}$ 的開集

對於某個開圓柱 $Delta(a,r)inOmega$ , $(z_1,cdots,z_n)inDelta(a,r)$ ,固定 $n-1$ 個分量不動，只讓一個分量發生變化，那麼這一個分量變化出來的像是開集（單復變中的開映射定理），再作並（不斷改變剩下的 $n-1$ 個分量得到的開集）也是開集，從而 $f(Delta(a,r))$ 的確是開集

藉助開映射定理1）為顯然

2）反設 $exists ainOmega,forall zinOmega,left| F(a) ight|geqleft| F(z) ight|$ ,定義 $g(z)=sum_{j=1}^mf_j(z)overline{f_j(a)}$

則 $gin A(Omega)$ ,由Cauchy不等式 $left| g(z) ight|^2leqsum_{j=1}^mleft| f_m(z) ight|^2sum_{j=1}^mleft| f_m(a) ight|^2leqleft| F(a) ight|^4$

由此知 $left| F ight|=sqrt{sum_{j=1}^mleft|f_j(z) ight|^2}$ 為常數，由引理知矛盾

現在，我們將使用Montel定理與極大模原理來證明Poincare定理：

Poincare定理的證明：假設存在雙全純映照( $zinDelta^{n-1},winDelta$ , $ngeq2$ )

$F(z,w)=(f_1(z,w),cdots,f_n(z,w))$ : $Delta^n ightarrow B^n$ ,任取點列 $left{ z_j ight}in Delta^{n-1}$ ,

且 $z_j ightarrowpartialDelta^{n-1}$ ,由於 $left{ F(z_j,w) ight}_{j=1}^infty$ 一致有界，

由Montel定理，它存在一致收斂子列，設為 $left{ F(z_{j_k},w) ight}_{k=1}^infty$ ,

設此函數列內閉一致收斂於一個全純映照 $g(w)=(g_1(w),cdots,g_n(w))$ , $g:Delta ightarrowoverline {B^n}$ ,由於 $lim_{k ightarrow infty}{F(z_{j_k},w)}inpartial B^n$

(假設收斂到 $B^n$ 的內點，由連續性這個收斂點的某個開鄰域的逆象將包含 $left{ (z_{j_k},w) ight}_{k=1}^infty$ 這與 $z_j ightarrowpartialDelta^{n-1}$ 矛盾）從而有： $left| g ight|^2=sum_{j=1}^nleft| g_j ight|^2=1$ ,由引理知 $g(w)$ 為常數，