代數群入門（1）

05-14

第一章：代數幾何預備知識：

(敲黑板：

1.由於代數群理論我認識的人里只有我一個在看，沒有人討論，所以出現不當或者錯誤的地方在所難免。

2.寫作過程中盡量用中文但是對於數學名詞如果沒有眾所周知（wozhidaode）的翻譯還是用英文表示。

3.可能棄坑，hhhh.但盡量會續的。

)

假設讀者已經掌握GTM52第一章的前四小節的內容。

所以直接開始討論

1,6 Prevarieties 和 varieties

1.6.1. Prevarieties. 我們說代數閉域 $k$ 上的一個 quasi-compact 賦環空間 $(X,O_{X})$ 是一個prevariety 如果 $X$ 上任意一點都有一個鄰域 $U$ 使得 $(U,O|_{U})$ 同構於一個仿射k-簇。我們稱這樣的 $U$ 為仿射開集。

1.6.2 命題：Prevariety $X$ 是一個諾特空間。

證明：根據定義可以用仿射開集覆蓋 $X$ 。然而根據 $X$ 是 quasi-compact的，可以找出一個有限覆蓋。也就是存在有限個仿射開集覆蓋 $X$ ，因此它還是一個諾特空間。

1.6.3 命題：兩個prevarieties的乘積（範疇意義下的積）存在，並且在同構意義下唯一。

證明核心：考慮prevariety的有限仿射開集覆蓋。

可以直接定義仿射簇的積，並且兩個仿射簇的積的仿射坐標環是它們二者仿射坐標環的張量積。見 Humphreys 的 Linear Algebraic Groups p.20.

Caution：下面考慮prevariety的積指得都是範疇意義下的積，它絕非是拓撲意義下的兩個拓撲空間的積。Zariski拓撲下兩個空間的笛卡爾積上的Zariski拓撲一般而言是不同於兩個空間的積拓撲的。

1.6.5 分離公理。設 $X$ 為一個prevariety，我們用 $Delta_{X}$ 表示 $X imes X$ 的對角線。 $Delta_{X}$ 取子空間拓撲。用 $i$ 表示 $X$ 到 $Delta_{X}$ 的自然的映射。

如果 $X$ 是一個仿射k-簇的話，易得 $Delta_{X}$ 是一個閉集且它和 $X$ 同胚。

1.6.8 引理。如果 $X$ 是一個prevariety ，那麼 $i: X ightarrowDelta_{X}$ 是一個拓撲空間意義下的同胚。

證明：考慮prevariety的有限仿射開集覆蓋，那麼 $i$ 局部上是一個同胚，結合它是1-1的所以它就是一個同胚。

下面定義簇：

1.6.9 我們說一個prevariety $X$ 是一個簇（又稱為k-簇）如果它滿足分離公理：

分離公理： $Delta_{X}$ 在 $X imes X$ 內是一個閉集。

眾所周知一個拓撲空間是Hausdorff的當僅當它的對角線為閉集，所以分離性公理給了簇一定的分離性，讓我們可以用拓撲的方法得到更好的結論。但是區別也是顯然的：我們知道一個諾特空間是Hausdorff的當僅當它是平凡的。

1.6.10:

（1）簇的積還是簇

證明：用定義可證。（偷個懶，蛤鉿）

（2）簇的子簇還是簇。

有了分離性公理我們可以證明如下結論：

1.6.11. 命題：設 $X$ 為一個簇而 $Y$ 為一個prevariety。

（1）如果 $phi :Y ightarrow X$ 是一個態射那麼 $phi$ 的圖在 $Y imes X$ 內是一個閉集。

（2）如果 $phi, psi:Y ightarrow X$ 是兩個在一個稠密集上相等的態射那麼他們就有 $phi =psi$ 。

證明從略。

什麼時候一個prevariety是一個簇呢？下面的命題或許有點用。

1.6.12. 命題：（1）如果 $X$ 是一個簇，令 $U,V$ 為 $X$ 中仿射開集。那麼 $Ucap V$ 也是一個仿射開集，並且 $O_{X}(U),O_{X}(V)$ 在限制(層的限制映射)下的像生成了 $O_{X}(Ucap V)$ .

(2)如果 $X$ 是一個prevariety,令 $X=igcup_{i=1}^{n}U_{i}$ 為它的一個有限仿射開集覆蓋。那麼 $X$ 是一個簇當且僅當它滿足以下條件：對於任何數對 $(i,j)$ ,交集 $U_{i}cap U_{j}$ 總是一個仿射開集並且 $O_{X}(U_{i}),O_{X}(U_{j})$ 在限制下的像生成了 $O_{X}(U_{i}cap U_{j})$ .

證明從略。

值得注意的是,考慮一個仿射簇 $X$ 。它的仿射坐標環是一個整環，令 $K(X)$ 為對應的分式域。考慮 $X$ 的仿射開集 $U$ ，我們記 $K[U]$ 為 $U$ 上所有regular function的集合。這裡實際上是 abuse of notation ，因為對於仿射簇這代表仿射坐標環，但因為仿射簇上所有regular function的集合就是他的仿射坐標環所以定義是合理的。假設 $U=D_{f}$ 是X的一個principal open set ,那麼 $K[U]=K[X]_{f}$ .因此 $K(U)=K(X)$ .考慮到 $X$ 中所有開集都是有限個principal open set 的並，因此有對於任意仿射開集 $U$ ， $K(U)=K(X)$ .

一般的對於一個不可約簇 $X$ ，它的任意兩個開集都有交，因此有上面結論它的任意兩個開集上的regular function構成的整環的分式域是同構的。在這個意義下我們可以定義 $K(X)$ 為 $X$ 上任意一個仿射開集的regular function構成的整環的分式域。利用這個結論我們可以把仿射簇的維數推廣到不可約簇上：

定義：對於不可約簇 $X$ ，我們用 $dim(X)$ 表示 $K(X)$ 關於 $k$ 的transcendence degree.

並稱之為 $X$ 的維數。

可以把仿射簇的維數的相關結論推廣到不可約簇上。根據上面討論這和仿射簇的維數的結論是完全一樣的。

1.9 態射的一些性質。

這裡只列出一個後面經常用的定理：

1.9.5 定理：設 $phi :X ightarrow Y$ 是一個簇間的態射。那麼 $phi X$ 包含了它的閉包的一個非空開子集。

（主要講了簇的基本性質基本會用在前幾張，因為後面都在考慮線性代數群。說實話寫了這個感覺自己對這塊的理解還加深了不少23333333333333.

see u next time.）