高等代數筆記整理（三）

05-14

大家五一快樂！

趁著放假，我抓緊將這一篇碼出來，這篇的內容不太難，也算是給我自己一個偷懶的機會吧hiahiahia。

在正式開始之前，我還是想跟大家說幾句，在這篇筆記中我有很多地方講的比較簡略，主要是希望大家能在閱讀的過程多添加些自己的思考。

我一直以為，作為一個教科書或是筆記，寫得過於詳儘是不好的，甚至可以說有些糟糕，因為這在很大程度上會磨滅掉讀者的思考。

所以，很多地方我甚至是故意簡略的，提及自證的地方，希望大家一定要仔細的思考，就算會也盡量地去動筆寫一下，因為做這些對加深記憶與理解是很有幫助的。（大神請自動忽略此段）

另外，如果你感覺到有些地方「語焉不詳」，不要害怕也不要放棄，靜下心來或者找到一個靜下來的時間慢慢讀，你其實不是看不懂，只是沒抓到邏輯的關鍵罷了，而善於抓到作者的邏輯關鍵在數學學習中也是一種十分重要的能力。

我很希望通過對這個系列筆記的閱讀，大家可以鍛煉到這個能力，所以很多地方我甚至會故意地去「語焉不詳」些以製造些思維難度。

但是不用擔心，只要明確整篇筆記的思路，讀明白是很容易的，就像到現在也沒有很多人感覺哪塊不好理解吧？其實我已經在往裡面加難度了。

所以，一定要堅持下去，也希望能夠通過這個系列的筆記，讓大家不再害怕自學教材。

另外，如果要學好這門課，單單地看這篇筆記是肯定不夠的，儘管為我會儘力地寫得全面一些，但是數學這門學科不是聽懂就可以的，還需要真刀真槍地去做習題。

希望大家學有所獲吧！

好了，胡七八糟地扯了這麼多，我們還是開始今天的內容吧！

線性方程組

啥是線性方程組？

聽起來好像很高大上的名字，其實就是多元（或一元）一次方程組的統稱，它的一般形式是：

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=b_1 \ a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=b_2 \ cdots cdots cdots cdots cdots \ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+cdots+a_{mn}x_n=b_m end{array} ight. end{equation}$

我們從小學時就開始接觸這類方程了，但是到現在為止對它的認識也就僅僅停留在加減消元法，雖然沒什麼思維量，但是消來消去未免太麻煩，我們今天就來嘗試用高等代數的角度尋求一些簡單易行的方法。

線性方程組的向量表示

記得在知乎上看到過一個陳年的段子，說是一個數學家扛不住生活的壓力，要去當消防員，面試的時候長官就問他：

」如果你路過街邊，發現著火了怎麼辦？「

數學家當然說：「滅火啊。」

長官很滿意，繼續問道：「如果沒著火呢？」

這次數學家思忖了一會，點了點頭，說：「那我就先去點燃它！」

數學家要解決一個新問題，最慣用的一個方法就是把它轉化到我們研究過的舊問題上，那麼要如何在解線性方程組和我們剛剛學的向量空間建立聯繫呢？

我們注意到，如果令 $alpha_1= left( egin{array}{cr} a_{11}\ a_{21}\ vdots\ a_{m1}\ end{array} ight), alpha_2= left( egin{array}{cr} a_{12}\ a_{22}\ vdots\ a_{m2}\ end{array} ight), cdots, alpha_n= left( egin{array}{cr} a_{1n}\ a_{2n}\ vdots\ a_{mn}\ end{array} ight), eta= left( egin{array}{cr} b_1\ b_2\ vdots\ b_m end{array} ight)$ ，那麼方程

就等價為 $x_1alpha_1+x_2alpha_2+cdots+x_nalpha_n=eta$ 。

這是啥？

線性表出啊！

然而這意味著什麼呢？

意味著這裡的 $eta$ 只有能被向量組 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 線性表出該方程組才有解，否則就無解！

這就轉化為了我們熟悉的問題！

那麼我們就從線性表出的角度來重新看下這個問題。

我們先來看下解的情況的問題，即什麼時候有解，有多少解的問題。

通過上面的分析，我們知道，線性方程組有解實際上就向量組 $a_1,a_2,cdots,a_n,eta$ 線性相關

為了把解轉化為我們所熟知的向量形式，我們把每個解 $x_1,x_2,cdots,x_n$ 寫成 $left( egin{array}{cr} x_1\ x_2\ vdots\ x_n end{array} ight)$ 的形式。

OK，一切準備就緒，我們現在正式來解決這個問題。

齊次線性方程組解的結構

柿子撿軟的捏，我們先來討論一個簡單點的情形。

即類似於

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=0 \ a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=0 \ cdots cdots cdots cdots cdots \ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+cdots+a_{mn}x_n=0 end{array} ight. end{equation}$

為了敘述方便，我們把這個方程組記作(1)

這樣右邊的項全為零的方程，我們給這類方程起個名字，稱為齊次線性方程組。

把它寫成線性表出的形式就是： $x_1alpha_1+x_1alpha_2+cdots+x_1alpha_n=0$ （這裡的 $0$ 指的是零向量）

我們任取方程組(2)的兩個解 $gamma$ 和 $delta$ （別忘了我們是把解寫成了向量的形式），它們分別為 $left( egin{array}{cr} c_1\ c_2\ vdots\ c_n end{array} ight)$ 和 $left( egin{array}{cr} d_1\ d_2\ vdots\ d_n end{array} ight)$ ，那麼就有 $c_1alpha_1+c_2alpha_2+cdots+c_nalpha_n=0$ ， $d_1alpha_1+d_2alpha_2+cdots+d_nalpha_n=0$ 。

兩式相加，得 $(c_1+d_1)alpha_1+(c_2+d_2)alpha_2+cdots+(c_n+d_n)alpha_n=0$ ，於是 $left( egin{array}{cr} c_1+d_1\ c_2+d_2\ vdots\ c_n+d_n end{array} ight)$ 即 $gamma+delta$ 也是(1)的解。

同樣地，我們可以證明 $kgamma$ 也是(1)的解。（這裡我們假設數域為 $K$ ，即這裡所有的數都在 $K$ 中取值）

如果我們把線性方程組(1)的全部解組成一個集合 $W$ 的話，就有

$forall gamma,delta in W,gamma+deltain W$ ， $forall gammain W,k in K,kgammain W$

這實際上就是子空間定義的後兩個條件，現在來看看 $W$ 是否非空。

顯然， $0 in W$ ，於是方程組(1)的解集 $W$ 是一個子空間，我們把它稱為齊次線性方程組(1)的解空間。

由上一節的知識我們知道，要研究方程組(2)的解空間，只要找到它的一組基就可以了，怎麼找呢？

我們先來求基礎解系所含向量的個數，也就是解空間的維數。

Theorem

對於齊次線性方程組 $x_1alpha_1+x_2alpha_2+cdots+x_nalpha_n=0$ ，如果 $rankleft{ a_1,a_2,cdots,a_n ight}=r$ ，那麼該齊次線性方程組解空間的維數為 $n-r$ 。（這個定理相當重要）

proof：記方程組 $x_1alpha_1+x_2alpha_2+cdots+x_nalpha_n=0$ 為 $(*)$ ， $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 的一個極大線性無關組為 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r$ （順序是沒有影響的）

那麼 $alpha_{r+1},alpha_{r+2},cdots,alpha_n$ 就能被 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r$ 線性表出，我們設

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} alpha_{r+1}=k_{11}alpha_1+k_{12}alpha_2+cdots+k_{1r}alpha_r \ alpha_{r+2}=k_{21}alpha_1+k_{22}alpha_2+cdots+k_{2r}alpha_r \ vdots vdots vdots vdots vdots \ alpha_{n}=k_{n-r,1}alpha_1+k_{n-r,2}alpha_2+cdots+k_{n-r,r}alpha_r \ end{array} ight. end{equation}$

於是原方程組就等價為

$egin{array}{lr} x_1alpha_1+x_2alpha_2+cdots+x_ralpha_r+\ x_{r+1}left(k_{11}alpha_1+k_{12}alpha_2+cdots+k_{1r}alpha_r ight)+ \ x_{r+2}left(k_{21}alpha_1+k_{22}alpha_2+cdots+k_{2r}alpha_r ight)+ \ vdots vdots vdots vdots vdots \ x_{n}left(k_{n-r,1}alpha_1+k_{n-r,2}alpha_2+cdots+k_{n-r,r}alpha_r ight)=0 end{array}$

即 $egin{array}{lr} left(x_1+x_{r+1}k_{11}+cdots+x_nk_{n-r,1} ight)alpha_1+ \ left(x_2+x_{r+1}k_{12}+cdots+x_nk_{n-r,2} ight)alpha_2+ \ vdots vdots vdots vdots vdots\ left(x_r+x_{r+1}k_{1r}+cdots+x_nk_{n-r,r} ight)alpha_r=0 \ end{array}$

又因為向量組 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r$ 線性無關，所以 $(*)$ 又等價於方程組

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_1+x_{r+1}k_{11}+cdots+x_nk_{n-r,1}=0 \ x_2+x_{r+1}k_{12}+cdots+x_nk_{n-r,2}=0 \ vdots vdots vdots vdots vdots\ x_r+x_{r+1}k_{1r}+cdots+x_nk_{n-r,r}=0 \ end{array} ight. end{equation}$

易知， $left( egin{array}{cr} k_{11} \ k_{12} \ vdots \ k_{1r} \ -1 \ 0 \ vdots \ 0 end{array} ight), left( egin{array}{cr} k_{21} \ k_{22} \ vdots \ k_{2r} \ 0 \ -1 \ vdots \ 0 end{array} ight), cdots, left( egin{array}{cr} k_{n-r,1} \ k_{n-r,2} \ vdots \ k_{n-r,r} \ 0 \ 0 \ vdots \ -1 end{array} ight)$ 都是該方程組的解，即都是解空間 $W$ 中的向量，我們把這個向量組記為 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 。

下面我們來看作為 $(*)$ 解空間 $W$ 中的一組向量， $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 是否是 $W$ 的一個基。

顯然， $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 是線性無關的（我們把這個結論的證明當作練習留給大家，提示：本系列第一篇線性相關與線性無關部分的性質5）。

下面我們只要證明 $W$ 中的任意向量都能由 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 就可以了。

我們任取 $W$ 中的一個向量 $delta= left( egin{array}{cr} l_1\ l_2\ vdots\ l_n end{array} ight)$ ，則 $l_1alpha_1+l_2alpha_2+cdots+l_nalpha_n=0$ ，由上面的分析可知

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} l_1+l_{r+1}k_{11}+cdots+l_nk_{n-r,1}=0 \ l_2+l_{r+1}k_{12}+cdots+l_nk_{n-r,2}=0 \ vdots vdots vdots vdots vdots\ l_r+l_{r+1}k_{1r}+cdots+l_nk_{n-r,r}=0 \ end{array} ight. end{equation}$

現在來證明 $delta=-l_{r+1}gamma_1-l_{r+2}gamma_2+cdots-l_{n}gamma_{n-r}$

也就是證明 $l_{r+1}gamma_1+l_{r+2}gamma_2+cdots+l_{n}gamma_{n-r}+delta=0$ ，我們把這個方程組展開，就是

故 $delta$ 能由 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 線性表出，這就證明了 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 是 $W$ 的一個基。

於是 $dimW=n-r$ ，證明完畢。

下面我們來看看這 $n-r$ 個向量到底都是誰，或者說怎麼簡單地找到一組 $W$ 的基。

其實上面我們已經找到一組 $W$ 的基了，不就是 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 嘛！

那怎麼找到它們呢？

其實很簡單，只要把原先的方程組化為

啥？怎麼化？

當然是用我們之前經常用的加減消元法啊。

當然了，即使是熟知的加減消元法，我們也盡量去看看有沒有好一點的方法可以簡化這個問題或者使解決這個問題變得方便（引入矩陣）

要簡化一個問題，我們就要抽象出它的本質來，一般來說，抽象得越深刻，問題就越簡單。

那線性方程組的加減消元法怎麼抽象呢？

我們注意到，在對方程組

進行加減消元法的過程中，實際上 $x_1,x_2,cdots,x_n$ 是沒有用處的，他只是一個記號而已，把它換成 $y_1,y_2,cdots,y_n$ 或者是 $z_1,z_2,cdots,z_n$ 根本不會影響到這個線性方程組的一絲一毫。

也就是說，用不同的字母來代表未知元，線性方程組並沒有本質上的改變。

那麼我們就可以完全不要它了，把這個線性方程組記為

$left( egin{array}{lr} a_{11} quad a_{12} quad cdots quad a_{1n} quad b_1 \ a_{21} quad a_{22} quad cdots quad a_{2n} quad b_2\ cdots quad cdots quad , cdots quad cdots quad cdots \ a_{m1} quad a_{m2} cdots quad a_{mn} quad b_m end{array} ight)$

它有 $m$ 行 $n+1$ 列，我們把它稱為 $m$ 行 $n+1$ 列矩陣（或 $m imes (n+1)$ 矩陣），並把它稱為這個線性方程組的增廣矩陣。

而在齊次線性方程組中，由於後面的 $b_1,b_2,cdots,b_m$ 全為零，所以我們在解的過程中可以暫時忽略掉這些項，把方程組記作

$left( egin{array}{lr} a_{11} quad a_{12} quad cdots quad a_{1n} \ a_{21} quad a_{22} quad cdots quad a_{2n} \ cdots quad cdots quad , cdots quad cdots \ a_{m1} quad a_{m2} cdots quad a_{mn} end{array} ight)$

我們把這個矩陣稱為該齊次線性方程組的係數矩陣（也是以上非齊次線性方程組的係數矩陣）。

下面我們就來看看如何從矩陣的角度來解這些方程組吧！

用矩陣的初等行變換解線性方程組

我們現在著手來解決

用矩陣的語言來描述，就是

在解決這個問題之前，我們先要明確幾個問題，就是我們能幹什麼，我們要幹什麼。

首先來看我們能幹什麼，也就是能對這個矩陣做什麼而不改變這個方程組的解，要知道，雖然我們把方程組寫成了矩陣的形式，按時實際上我們做的和還只是也只能是加減消元法。

那麼加減消元法在矩陣表示中又是如何實現的呢？

要解決這個問題，我們就得來搞清楚加減消元法到底是什麼。

其實，加減消元法是三種變換的總稱，如果把它們分開來看的話，無非就是

兩行互換
某行兩邊同時乘一個非零數
把一行的某倍加到另一行上

這三種（你可以思考一下到底是不是）

為了方便說明，我們把矩陣的第一行，第二行，……，第 $m$ 行分別記作 $r_1,r_2,cdots,r_m$ ，那這三種變換對應到矩陣里就是

$r_ileftrightarrow r_j$ ，我們把這個變換記作 $(r_i,r_j)$
$k imes r_i ightarrow r_i,k e0$ ，記作 $k imes r_i$
$r_j+k imes r_i ightarrow r_j$ ，記作 $r_j+k imes r_i$ （這裡默認變化的是前面的行，即 $r_j$ ，而 $r_i$ 是不變的）

這裡的箭頭表示賦值。

我們把這三類變換稱為初等行變換。

OK，我們解決了能幹什麼的問題，那麼，我們要幹什麼呢？也就是我們的目的是什麼？

當然是解出這個線性方程組啦！

那麼，我們把這個方程組化到什麼形式才算把這個它解出來了呢？

不就是 $egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_{1}=c_1+k_{11}x_{r+1}+k_{12}x_{r+2}+cdots+k_{1r}x_{n} \ x_2=c_2+k_{21}x_{r+1}+k_{22}x_{r+2}+cdots+k_{2r}x_{n} \ vdots vdots vdots vdots vdots \ x_{r}=c_r+k_{n-r,1}x_{r+1}+k_{n-r,2}x_{r+2}+cdots+k_{n-r,r}x_n \ end{array} ight. end{equation}$ 嘛！

注意：我們平時見到的多是 $egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_{1}=c_1 \ x_2=c_2 \ quad vdots \ x_{n}=c_r end{array} ight. end{equation}$ 即 $r=n$ 的只有唯一解的形式，以上的形式是最一般的線性方程組解的形式，你可以想一下是為什麼。

並且，通過這個我們也可以得到一個簡單的推論，即如果線性方程組有解，那麼要麼只有唯一解，要麼就有無窮多解。

也就是說，線性方程組解的情況只有三種

無解
有唯一解
有無窮多解

這個證明作為一個思考題留給大家。

OK，想大家也有點累了，今天就說到這裡，在下一篇中我們將繼續就我們要幹什麼這個問題討論下去。

其實本事是打算一篇說完的但是沒想到越打越多，最後算了一下，竟然要將近兩篇的篇幅，為了讓大家更好的消化，我還是決定把它分成兩篇講述……沒想到僅僅是一個小運用也要如此的篇幅。

小結一下，這篇我們主要就著解線性方程組的思路進行了一系列探討，先是對其進行了抽象分析，發現線性方程組實際上就是一個「向量方程」（我們姑且這樣稱呼它）。

於是就把它轉化為了線性表出一類的問題。

緊接著我們又從其的一種簡單情況（即齊次線性方程組）入手，明晰了齊次線性方程組解的結構（ $n-r$ 維的子空間）并力圖找到它的一組基。

然後經過分析，問題又轉化為了如何用相對簡單的表達對線性方程組進行加減消元法，於是又我們引入了矩陣，初等行變換等一系列概念。

我們把這個問題拆分為了」我們能幹什麼「和「我們要幹什麼」。

目前為止我們已經解決了「我們能幹什麼」（初等行變換）的問題，現在「我們要幹什麼」的問題我們正在解決，在解決的過程中我們還順便得到了線性方程組解的情況只有三種（即無解、有唯一解和有無窮多解）。

思維線拉得有點長，但是一切都是很自然的，正如我們在引言中所說的那樣，高等代數的概念是相當多的，但是只要抓住它的思維主線就能很容易地理解它們並運用他們。

希望大家也能像我一樣，看完之後再從頭到尾地把這節內容理一下，不要覺得簡單就不去想，這實際上是很可怕的一件事，因為很多時候都是從簡單到困難過度的，前面的時候對知識點不夠清晰，後面就很可能看不懂了。

我希望每個讀這個系列的同學都能堅持下去，當然我也會儘力地把這篇筆記寫好，但是最主要的地方還是在你自己身上。

下面是一些練習

Exercise

1.證明Theorem中的向量組 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 線性無關。

2.證明線性方程組解的情況只有三種（即無解、有唯一解和有無窮多解）

3.設數域 $K$ 上的 $m imes n$ 矩陣 $H$ 的列向量組為 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 。證明： $H$ 的任意 $s$ 列（ $s leq min left{ m,n ight}$ ）都線性無關 $Leftrightarrow$ 齊次線性方程組 $x_1alpha_1+x_1alpha_2+cdots+x_1alpha_n=0$ 的任一非零解的非零分量的數目大於零（丘維聲《高等代數》P95 例11）

提供上一篇中練習的答案或一些提示

設 $alpha_{1},alpha_{2},alpha_{3},alpha_{4}$ 是向量空間 $V$ 的一個基，求證 $alpha_{1}-alpha_{2},alpha_{2}-alpha_{3},alpha_{3}-alpha_{4},alpha_{4}$ 也是 $V$ 的一個基。（這題考察的是線性無關的定義，只要令 $k_1(alpha_{1}-alpha_{2})+k_2(alpha_{2}-alpha_{3})+k_3(alpha_{3}-alpha_{4})+k_4alpha_{4}=0$ 然後證明 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 必須全為零就行了）
證明子空間 $W$ 的不同基所含向量個數相同。（與對同一向量組的不同極大線性無關組的個數相同的證明類似，只要把上一篇的兩個引理改一下就可以了）
求證：子空間 $W$ 中的每個向量都能由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出 $Leftrightarrow$ 任取 $W$ 中不在 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的向量 $eta$ 添入原向量組得到的新向量組 $eta,alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性相關（類似於第一篇中向量組的極大線性無關組的等價定義的證明）