導言&目錄

05-14

一直猶豫要不要開一個專欄，因為手寫的筆記是相對難以閱讀和修改的。而個人也沒有精力再製作一份LaTeX版本，因此決定直接掃描上傳。我從不期待有任何讀者，甚至分享筆記這件事情本身也沒有目的，唯一合理的解釋是希望有一個線上空間來存放自己的作品吧。由於一些原因之前一直在微信公眾號更新，然而我始終認為知乎是一個更加適合數學寫作的平台。如果某天我決定完全電子化自己的數理筆記，那一定是用知乎的編輯器來書寫。

最開始自學線性代數的動機是看不懂電動力學的第一章，加上高三在學校選了線代這門課程，促使我抽出業餘時間開始看國內外有關教材。高三因為申請季的原因，前前後後拖了快一年才結束第一輪的學習，並留下了一本200來頁的手寫筆記。由於學習時間跨度很大，隨著理解的深入，筆記前後的風格出入明顯；而且參考的教材略多，總想寫得面面俱到，內容的安排稍顯散亂。個人水平所限，錯漏之處想必不少，還請諒解。

參考教材

我參考或者瀏覽過不少教材，對我寫作影響最大的莫過於

Linear Algebra Done Right (3rd ed.) by Sheldon Axler

這是我最為推崇的線性代數教材。我的邏輯主線很大程度上繼承了這本書的思路，有幾個章節（向量空間、內積空間）甚至是完全照搬原書脈絡。

此外，我還在很多章節主要參考了兩本書：

高等代數簡明教程 by 藍以中
Linear Algebra Done Wrong by Sergei Treil

在某一兩個知識點上給以我啟發的書有：

高等線性代數 by 張賢科
高等代數 by 丘維聲
Advanced Linear Algebra by Steven Roman
Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay
Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang

Linear Algebra by Kenneth Hoffman & Ray Kunze
微分幾何入門與廣義相對論 by 梁燦彬 & 周彬

內容概要

內容基本覆蓋了傳統的理工科線性代數內容，以及與其他課程聯繫緊密的重線性代數（張量）。國內的高等代數課還會多學習一些多項式理論和環與理想，而我打算把這些內容放在接下來的抽象代數中一起學習。此外，與國內高代不同的是，這個筆記沒有深入討論Jordan標準形理論，內容僅限於得到復向量空間上線性運算元的准素分解與循環分解，而不涉及λ矩陣，有理標準形，矩陣函數等課題。請注意筆記前後風格差異相當大。

筆記內容：

I. 線性方程組

Brachistochrone：I. 線性方程組?

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線性方程組的行化簡法，矩陣行變換，階梯形矩陣， $mathbb{R^n}$ 的向量，線性無關，張成空間，矩陣乘向量表示 $mathbb{R^n}$ 中的線性映射。

II. 矩陣

Brachistochrone：II. 矩陣?

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矩陣加法與數乘，矩陣乘法表示線性映射的複合，矩陣轉置，矩陣求逆，初等矩陣，矩陣分塊，對角矩陣，三角矩陣，准對角矩陣，矩陣LU分解。

III. 行列式

Brachistochrone：III. 行列式?

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行列式表示線性映射放大率，行列式的基本性質（多線性，斜對稱性），行列式的導出性質，行列式的完全展開，餘子式展開，Vandermonde行列式，分塊矩陣的行列式，Cramer法則，伴隨矩陣表示逆矩陣。

IV. 向量空間

Brachistochrone：IV. 向量空間 Part 1?

zhuanlan.zhihu.comBrachistochrone：IV. 向量空間 Part 2?

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向量空間的公理及導出性質，子空間，基，維數，線性映射，單射與滿射，零空間與值域，線性映射基本定理，空間的同構，矩陣表示線性映射，線性運算元，空間的坐標系，基變換，相似矩陣，矩陣的4個基本子空間，矩陣的秩，子空間的和，直和，維數定理，積空間（=外直和），商空間，商映射。

V. 譜理論

Brachistochrone：V. 譜理論 Part 1?

zhuanlan.zhihu.comBrachistochrone：V. 譜理論 Part 2?

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本徵值，本徵向量，本徵空間，特徵多項式，相似矩陣的行列式與跡，代數重數與幾何重數，對角化的等價條件，對角化演算法，Fibonacci數列，不變子空間，上三角矩陣，運算元的多項式，零化多項式，Cayley-Hamilton定理，准素分解，極小多項式，冪零運算元，循環子空間分解，冪零運算元的Jordan形，一般運算元的Jordan形，Jordan-Chevalley分解定理，廣義本徵空間，向量空間和運算元的復化。

VI. 二次型

Brachistochrone：VI. 二次型?

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雙線性形式，合同矩陣，二次型與對稱矩陣，對稱矩陣的合同對角化，化二次型為標準形，二次型的規範形，Sylvester慣性定律，實二次型的分類，Sylvester正定性準則。

VII. 內積空間

Euclid空間與酉空間的內積定義，範數，Cauchy-Schwarz不等式，勾股定理，正交分解，賦范空間，標準正交基，Fourier分解，Parseval等式，Gram-Schmidt正交化過程，Schur定理，Riesz表示定理，正交補，正交投影，極小化，正規方程，伴隨映射，自伴運算元，實譜定理，實對稱矩陣的正交對角化，正規運算元，復譜定理，等距同構，正交矩陣與酉矩陣，正交運算元的刻畫，QR分解，初等旋轉，正運算元，極分解，Schmidt分解，奇異值分解，運算元範數。

VIII. 重線性代數

線性泛函，對偶空間，對偶映射，零化子，Euclid空間中對偶映射與伴隨映射的等同，多重線性映射，張量積的萬有性，張量積的基與維數，張量積的交換律與結合律，線性映射的張量積，矩陣的Kronecker積，對偶空間的張量積等同於多線性映射全體，Einstein約定記號，協變數與逆變數，(p,q)型張量，張量的運算，張量的基變換，指標縮並，交錯映射，外積，交錯張量。

和通用符號的差異

由於個人習慣和follow的書本等原因，筆記有許多符號表示和通用記號有差異（但筆記前後儘可能保持一致）

筆記中符號 $mathbb{F}$ 僅表示實數域 $mathbb{R}$ 或複數域 $mathbb{C}$ ，不擴展到一般域的情況。
如無特殊指明，向量空間 $V$ 不默認為有限維空間；但一旦指明空間的基，就一定是有限維的情況（筆記中只定義了有限維向量空間的基）。
所有向量我都按習慣加上了箭頭，例如矩陣作用於向量 $AX=B$ 習慣寫作 $Avec{x}=vec b$ ；雙線性形式 $f=X^mathrm{T}AY$ 習慣寫作 $f=vec{x}^mathrm{T}Avec y$ ；向量空間的基習慣寫作 $vec v_1,vec v_2,...,vec v_n$ 。這個習慣直到最後一章重線性代數才放棄（因為涉及非常多不同的向量空間）。
為作區分，線性映射一般用字母 $S,T,U$ ，矩陣一般用字母 $A,B,C$ 。線性映射的核空間 $mathrm{Ker}; T$ 習慣寫作零空間 $mathrm{Null}; T$ ；像集 $mathrm{Im}; T$ 習慣寫作值域 $mathrm{Ran}; T$ 。
方陣/運算元的行列式 $left| A ight|$ 習慣記作 $det A$ ，例如特徵多項式 $left| lambda E-A ight|$ 習慣記作 $det{(lambda I-A)}$ 。我一直不贊同豎線 $|·|$ 的濫用，容易造成混淆。在筆記中 $|·|$ 只用於表示絕對值，而範數則用雙豎線 $||·||$ 表示。
同樣造成濫用的還有圓括弧 $(·,·)$ ，筆記中內積改用尖括弧 $left<·,· ight>$ 表示。
與伴隨作區分，對偶空間 $V^ast$ 和對偶映射 $T^ast$ 習慣寫作 $V$ 和 $T$ （這種區分事實上對Euclid空間是無必要的）。
許多名詞的中譯與國內教材有差別，例如「線性變換」都稱為「運算元」。筆記中的名詞基本都是跟隨Linear Algebra Done Right的中譯本。
證明結尾放上中二的 $mathscr{Q.E.D.}$ !

更新說明

由於知乎文章編輯的便利性，我會先上傳所有章節的掃描圖片，之後再嘗試添加導讀或解釋性文字。