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【常微】皮卡存在和唯一性定理佩亞諾存在定理（一）

05-14

考試考到歐拉折線簡直像從來沒有學過的一樣，對於存在和唯一性定理這一章大腦也是一片空白......所以想自己再證一遍，權當筆記整理吧。

先寫寫皮卡存在唯一性定理相關的內容......Osgood條件與歐拉折線、佩亞諾留下一次吧。（看著看著就發現自己根本沒辦法一晚上寫完orz

Thm 皮卡存在和唯一性定理 設初值問題

(E)： $frac{dy}{dx}=f(x,y), y(x_0)=y_0,$

其中 $f(x,y)$ 在矩形區域 $R:|x-x_0|leq a,|y-y_0|leq b$ 內連續，而且對 $y$ 滿足李氏條件.(E)在區間 $I=[X_0-h,X_0+h]$ 有並且只有一個解，其中常數 $h=min{a,frac{b}{M}},M>maxlimits_{(x,y)in R}|f(x,y)|$ .

註：①李氏條件：函數 $f(x,y)$ 在區域 $D$ 內滿足不等式

$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|leq L|y_1-y_2|,L>0.$

②關於h的選取，我們還會在接下來的歐拉折線中有個更清晰的認識。

Pf 嚴格按照課本分四步來證明：

（一）初值問題可以等效為 $y=y_0+int_{x_0}^{x}f(s,y)ds$ ,其是較為顯然的，證明略。

（二）現在我們用逐次迭代法進行皮卡序列的構造：

關於皮卡序列的構造，其實質是一邊在證明壓縮映像原理，一邊在用它解決常微分方程，而如果感到它與泰勒展開有相似之處的話，是因為泰勒展開也是迭代過程中的副產物。關於壓縮映像原理可以翻閱這篇文章：（I）Banach空間和不動點定理 2 : 不動點定理和鐘擺問題

皮卡序列即為：

$y_{n+1}(x)=y_0+int_{x_0}^xf(s,y_n(x))ds,n=0,1,2,...,其中y(x_0)=y_0$

當 $n=0$ 時， $f(x,y_0)$ 是定義域上的連續函數，故 $y_1(x)$ 在定義域上連續可微 ,且滿足不等式 $|y_1(x)-y(x)|leq left | int_{x_0}^{x}|f(s,y_0(x)|dx ight |leq M|x-x_0|$

其中M即為定理中所述M.

即得： $|y_1(x)-y(x)|leq Mhleq b$ .

繼而得出 $f(x,y_1)$ 也在定義域上是連續的，同理知 $f_2(x)$ 在定義域上連續可微。

以此類推，由歸納法可證明 $y_n(x)$ 的連續性，並滿足不等式

$|y_n(x)-y(x)|leq M|x-x_0|,n=0,1,2,...$

（三）證明皮卡序列一致收斂到初值問題的解。

首先指出， $y_n(x)$ 的收斂性可轉而討論級數 $sum_{n=1}^infty [y_{n+1}(x)-y_n(x)]$ 的收斂性.

為此，我們要先用歸納法證明不等式 $|y_{n+1}(x)-y_{n}(x)|leq frac{M}{L}frac{(L|x-x_0|)^{n+1}}{(n+1)!}$

當 $n=0$ 時顯然成立.假設 $n=k$ 時成立，則

$|y_{k+2}-y_{k+1}|=left |int_{x_0}^x [f(s,y_{k+1})-f(s,y_{k})]ds ight|$

$leqleft|int_{x_0}^x L|y_{k+1}(s)-y_k(s)|ds ight|$

$leq Mleft|int_{x_0}^xfrac{(L|s-s_0|)^{k+1}}{(k+1)!}ds ight|$

$leq frac{M}{L}frac{(L|x-x_0|)^{k+2}}{(k+2)!}$

則目標不等式得證.該不等式即可作為柯西收斂準則的核心條件從而證明皮卡序列是一致收斂的。接下來，只需讓最初構造的皮卡序列中n趨近於無窮即可證明其極限函數就是初值問題的一個解。

（四）證明唯一性

利用反證法，設 $u(x),v(x)$ 為不同的兩個解，用之前的積分形式的初值問題以及李氏條件可得

$|u(x)-v(x)|$ $leq Lleft|int_{x_0}^x |u(s)-v(s)|ds ight|$ （*）

$leq LK|x-x_0|$

其中K為 $|u(x)-v(x)|$ 的一個上界.將該式不斷往（*）中迭代，最終可得到：

$|u(x)-v(x)|$ $leq Kfrac{(L|x-x_0|)^n}{n!}$

當n趨近於無窮，右端趨近於0，故 $u(x)=v(x)$

Q.E.D

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