獵犬追狐狸

05-14

一隻狐狸以不變的速率 $v_1$ 沿直線AB逃跑，獵犬以不變的速率 $v_2$ 追擊，其追擊方向始終對準狐狸。某時刻狐狸在AB上的F處，獵犬在D處，FD⊥AB， $overline{FD}=L$ ，如圖所示。設 $v_2$ > $v_1$ ，問獵犬追上狐狸還需多長時間？

解：建立坐標系，如圖：

$tan heta=-frac{dy}{dx}$

$x_1=x+ycot heta=x-yfrac{dx}{dy}$

$frac{dx_1}{dy}=frac{dx}{dy}-frac{dx}{dy}-yfrac{d^2x}{dy^2}$

$frac{dx_1}{dy}=-yfrac{d^2x}{dy^2}$

$dx_1=v_1dt$

$ds=v_2dt$

$ds=sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

$dx_1=v_1dt=frac{v_1}{v_2}ds=frac{v_1}{v_2}sqrt{1+left(frac{dx}{dy} ight)^2}dy$

$frac{dx_1}{dy}=frac{v_1}{v_2}sqrt{1+left(frac{dx}{dy} ight)^2}=-yfrac{d^2x}{dy^2}$

令 $gamma=frac{v_1}{v_2}$ ， $u=frac{dx}{dy}$

$gammasqrt{1+u^2}=-yfrac{du}{dy}$

$frac{du}{sqrt{1+u^2}}=-frac{gamma}{y}dy$

$ln(u+sqrt{1+u^2})=-gamma lny+C$

t=0時，y=L， $u=frac{dx}{dy}=0$ ，則 $C=gamma lnL$

$ln(u+sqrt{1+u^2})=-gamma lny+gamma lnL$

$ln(u+sqrt{1+u^2})=gamma lnfrac{L}{y}$

$u+sqrt{1+u^2}=left(frac{L}{y} ight)^gamma$

$1+u^2=left[left(frac{L}{y} ight)^gamma-u ight]^2=left(frac{L}{y} ight)^{2gamma}+u^2-2uleft(frac{L}{y} ight)^gamma$

$u=frac{1}{2}left[left(frac{L}{y} ight)^{gamma}-left(frac{L}{y} ight)^{-gamma} ight]=frac{1}{2}left[left(frac{y}{L} ight)^{-gamma}-left(frac{y}{L} ight)^{gamma} ight]$

$u=frac{dx}{dy}$

$dx=frac{1}{2}left[left(frac{y}{L} ight)^{-gamma}-left(frac{y}{L} ight)^{gamma} ight]dy$

$x=frac{L}{2}left[frac{1}{1-gamma}left(frac{y}{L} ight)^{1-gamma}-frac{1}{1+gamma}left(frac{y}{L} ight)^{1+gamma} ight]+C$

t=0時，y=L，x=0

$0=frac{L}{2}left(frac{1}{1-gamma}-frac{1}{1+gamma} ight)+C$

$C=frac{L}{2}frac{2gamma}{1-gamma^2}=frac{gamma L}{1-gamma^2}$

所以，獵犬的運動軌跡方程

$x=frac{L}{2}left[frac{1}{1-gamma}left(frac{y}{L} ight)^{1-gamma}-frac{1}{1+gamma}left(frac{y}{L} ight)^{1+gamma} ight]+frac{gamma L}{1-gamma^2}$

式中， $gamma=frac{v_1}{v_2}$

當獵犬追上狐狸時

y=0

則 $x^*=frac{gamma L}{1-gamma^2}$

獵犬追上狐狸用的時間

$t^*=frac{x^*}{v_1}=frac{L}{(1-gamma^2)v_2}$