無窮大的數學（一）：0.9循環 = 1？——實數與極限

關於無窮和連續，幾乎能看到的一切都是反直覺的。而這兩個概念在本質上是相通的，當年數學家質疑無理數的存在不是沒有道理的，而用來解釋這些奇怪特性的學科「實分析」實際上是到了19世紀才嚴格建立起來的。

可能對大多數人來說，人生遇到的第一個神奇的關於無窮的困擾就是0.999... = 1了，他看起來似乎不可能卻又存在種種運算表明事實如此。大多數人可能就簡單的接受這樣的事實，可是對於數學家來說，這種反直覺其實是不可接受的，因此他們一定要找出一些理由來解釋為何這是「反直覺」的

先說結論，沒錯0.999.... = 1，但是，這裡的「=」，和1=1的「=」，並不完全是一回事

為了闡述這一問題，我們必須搞清楚，到底什麼是實數

建立自然數的概念是非常容易的，首先我們可以任意定義一個起始自然數0，然後為每一個自然數指定一個新的自然數（後繼），我們就能得到所有的自然數

當我們沿著減法進行擴充時，可以為每一個自然數x指定一個對應的新符號-x，得到負數，特別的，我們認為-0 = 0，因為這樣滿足減法的規律

同樣的，我們可以沿著除法擴充定義有理數，這意味著，每個有理數其實是一個整數對（p,q）（注意，而不是什麼小數，尤其是無限小數0.333.... = 1/3，因為我們目前尚且無法嚴格定義無限小數，更無法說明他們的值）

可是自從畢達哥拉斯學派的某人發現了這無法表示所有的長度之後，我們必須引入一些新的數，那麼問題就來了，這些新的數，到底是什麼，我們如何定義它，如何表達它。

顯而易見 ，我們無法找到任何一個剛剛說的數，他的平方是2。 沿著開方演算法走下去，我們會發現這是一個永遠無法結束的過程，這個我們永遠也無法結束的過程，我們到底要不要承認他存在，這是數學史上曾經的一個重大爭議：無窮是不是實在的。

潛無窮其實是一個相對好理解的概念，比如自然數，我們知道他可以無窮無盡的增長，這是一種趨勢，但不存在一個真正的無窮大。

而相對的，實無窮則是承認有著一個無窮大對象（雖然我們看不見摸不著永遠到達不了，但我們相信他存在，這種相信，我們公理來表達，現代數學基本都建立在一個包含無窮公理的體系之上，而無窮公理則是保證無窮存在的基礎）

那麼姑且讓我們不考慮實無窮這回事，先順著古人拒絕承認無窮存在的角度來考慮問題（實際上這個人也沒多古，我說的就是柯西大神，其實實分析最初就是建立在潛無窮的基礎之上的）

潛無窮的方案里，我們是怎麼表達無窮的呢，剛剛說了，自然數，1,2,3,4....這就表達了一個無窮的趨勢。既然如此，我們自然可以想到，正如我們用兩個整數來定義有理數，我們可以用無窮多個有理數來定義我們剛剛需要的「新的數」，也就是後來我們所說的無理數

這樣一來，我們才真正意義上第一次接觸到「無限」的概念

0.333....是什麼呢，其實是0.3,0.33,0.333,0.3333,....這樣一個數列

根號2呢，其實是1,1.4,1.41,1.414,....這樣一個數列

（我相信到這裡，很多人應該會想起，為什麼高數的第一章總是數列，因為整個實分析其實就是建立在數列之上的）

請注意上面數列中，每一個數都是有理數，都是我們已經良好定義過的東西，因此我們只是在已有的東西上繼續延伸，而不是憑空創造出了什麼（這一點非常重要）

對於老的有理數，我們顯然可以定義常數列 x,x,x,x,.... = x

請注意，這裡開始，我們已經在重新定義等號了（現代數學表明，等號的本質是「自反性，傳遞性，對稱性」，這裡不詳細解釋）

對於非常數列，柯西對等號的定義，就是那個經典的困擾了無數大一新生ε-N語言（ε為打字方便，簡寫為d）

0.3333.... = 1/3，嚴格的說，讀作，對於任意的d，總存在一個N，使得sigma(3*10^-n) - 1/3 < d

所以，對於任意的d，總存在一個N，使得sigma(9*10^-n) - 1 < d，這句話就一點都不反直覺了

只不過你非要把他寫成0.999.... = 1，還忘記了這裡的等號是重新定義過的，才會覺得他反直覺

很多人會直覺性的反駁1-0.99999.... = 0.0000....1，對此我們不妨看看，在還原成標準語言之後，他們的反駁是在說什麼

1 = 1,1,1,1,1....

1-0.9999... = 0.1,0.01,0.001.......（恩，所以別用0.000...1這種未定義的奇怪的根本說不清楚是什麼的符號了）

而顯然

0.1,0.01,0.001.... = 0

當然，對大多數人來說，困擾他們小學遇到的第一個問題算是解決了，可是對數學家來說，問題還遠遠沒有。

首先，所有的數列的極限都是實數嗎（顯然不是，因為有發散數列）

其次，所有的實數，都能以數列極限的方式表達嗎？或者說，我們新的這種定義數的方式，真的就涵蓋了直線上所有可能的長度嗎（YES，實數的連續性，但並沒有那麼好證明）

對於發散數列我們姑且不考慮，但上述實數系統顯然不夠完美（當然我不是在說複數的角度）

我們注意到，我們原本定義的0是

0,0,0,0....

可是

0.1,0.01,0.001.... = 0

甚至我們可以找出無窮多這樣的數列 = 0

這不就是在說，我們新的定義數的方式裡面，0不是唯一的，並且他們之間有一個顯著的差別：

任何數列乘以常數列0，都是0

但自然數列（發散到無窮大的）乘以「另一種0（通常叫做無窮小）」，結果就不是0了，也就是說，0和無窮小，畢竟還是有區別的，我們不能這樣簡單粗暴的把他們定義成同一個東西（即使我們用了等號）

恩，為了讓大家對這句話有個更深刻的影響，我們複述下剛剛的結論

1-0.999... = 0，但1-0.999...不是0（常數列）

那麼，我們要區分0和無窮小，就意味著我們要引入實數之外的東西——我們稱之為超實數

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