素數的倒數和是發散的（三）

05-14

C：

第三個證明來自於Apostol的書《Introduction to Analytic Number Theory》1976年版p18（這個證明是Clarkson於1966年給出的），這個證明非常簡潔，並且不需要引用其他關於素數的結果。個人認為這個證明或許是受到Euclid關於素數無窮多的證明的啟發。

Proof:

採用反證法，假設級數 $sum_{m=1}^{+infty }{frac{1}{p_{m} } }$ 是收斂的，那麼存在一個正整數K使得

（4）： $sum_{m=k+1}^{+infty }{frac{1}{p_{m} } } <frac{1}{2}$

令 $Q=p_{1}....p_{k}$ ,那麼對於任何不小於1的自然數n，數 $1+nQ$ 包含的素因素只有 $p_{k+1},p_{k+2},.......$ ，即大於 $p_{k}$ 素數。於是對任意正整數n,一定存在一個正整數t,使得數 $frac{1}{1+nQ}$ 恰好是 $(sum_{m=k+1}^{+infty }{frac{1}{p_{m} } })^{t}$ 展開的某一項。（考慮把 $frac{1}{1+nQ}$ 的分母按照素因數的冪次展開）

由以上分析，得到

（5）: $sum_{n=1}^{+infty }{}frac{1}{1+nQ}$ $leq sum_{t=1}^{+infty }{(sum_{m=k+1}^{+infty }{frac{1}{p_{m} } })^{t} }$

由於 $frac{1}{1+nQ} sim frac{1}{n}$ ，由第一部分中提到的lemma3,可知式子（5）的左邊是發散的。

由式子（4）可知，（5）式右邊是收斂的，因此式子（5）是矛盾的，因此假設是不成立的。

綜上所述，級數 $sum_{m=1}^{+infty }{frac{1}{p_{m} } }$ 是發散的。

Q.E.D

References

Hua,Lo-keng,Introduction to Number Theory(1981).Springer. ISBN 3-540-10818-1
Tom M.Apostol,Introduction to Analytic Number Theory(1976),Springer-Verlag,New York ,ISBN 0-387-90163-9
Vladimir A.Zorich,Mathematical Analysis(2004),Springer ISBN 3540403868