15. 幼稚園學術：關於微分與差分的簡單類比

05-14

今天想早睡，寫的簡單一點，見諒。

給定一個二階實常係數線性微分方程：

$L[Y]: equiv frac{d^{2}y}{dx^{2}}+Pfrac{dy}{dx}+Qy=0$

記 $frac{dy}{dx}=z,frac{d^{2}y}{dx^{2}}=w$

則 $y,z,w$ 的一個線性組合得零。

由於指數函數的以下性質：

$(e^{x})=e^{x}$

$(e^{lambda x})=lambda e^{lambda x}$

可意識到函數 $y$ 畢竟有指數函數的形式，設

$y_{0}=e^{r x}$

實際上由一些前置定理，將證明原方程的解必有這種形式。

代入原方程，得到

$r^{2}cdot y_{0}+Pcdot rcdot y_{0} + Qcdot y_{0} =0$

從而

$r^{2} + Pcdot r + Q=0$

將這個方程稱為原微分方程的特徵方程。

解之，得根 $r_{1},r_{2}$ 依判別式的符號分為三種情況①兩實根②實重根③共軛虛根，利用線性微分方程通解的結構： $y=C_{1}cdot y_{01}+C_{2}cdot y_{02}=C_{1}cdot e^{r_{1}x}+C2cdot e^{r_{2}x}$ ，經適當變換將得到原方程通解的形式；利用初始條件，可求得具體問題所要求的特解。詳細了解二次線性微分方程的理論，請參 [1] 同濟大學數學系. 高等數學. 第六版. 上冊. 北京：高等教育出版社，2007 的323到331頁：第七章. 第六節. [2]王高雄，周之銘，朱思銘等. 常微分方程. 第三版. 北京：高等教育出版社，2006. 7 第四章.

對二階遞推（差分）方程，我們的想法是類似的。例如對

$a_{n+2}+Pcdot a_{n+1} + Qcdot a_{n}=0$

意識到等比數列是指數函數在整數集上的限制，可類似處理，在此不贅述了。

（其實是因為找資料發現了它萬千合集站最專業的學術資源搜索引擎學術資源搜集和整理學術資源分類和下載...覺得大家還是好好看書不要聽我胡扯了）