高等代數筆記整理（四）

05-13

大家好！

又是新的一周，上個星期我們就線性方程組的解法進行了一定的探討，今天我們將繼續探討下去。

那我們就開始吧！

還記得我們上次講到什麼地方了嗎？

講到了我們要幹啥（忘記的同學翻一下上一篇筆記）。

我們就從這裡繼續講下去。

我們留下的是以下的線性方程組：

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_{1}=c_1+k_{11}x_{r+1}+k_{12}x_{r+2}+cdots+k_{1r}x_{n} \ x_2=c_2+k_{21}x_{r+1}+k_{22}x_{r+2}+cdots+k_{2r}x_{n} \ vdots vdots vdots vdots vdots \ x_{r}=c_r+k_{n-r,1}x_{r+1}+k_{n-r,2}x_{r+2}+cdots+k_{n-r,r}x_n \ end{array} ight. end{equation}$

也就是

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_{1}-k_{11}x_{r+1}-k_{12}x_{r+2}-cdots-k_{1r}x_{n}=c_1 \ x_2-k_{21}x_{r+1}-k_{22}x_{r+2}-cdots-k_{2r}x_{n}=c_2 \ vdots , vdots vdots , vdots vdots qquad vdots \ x_{r}-k_{n-r,1}x_{r+1}-k_{n-r,2}x_{r+2}-cdots-k_{n-r,r}x_n=c_r \ end{array} ight. end{equation}$

它對應著什麼樣的矩陣呢？

我們按照上一篇的方法把它寫一下，就是

$left( egin{array}{lr} 1quad 0 quad 0 quad cdots quad 0 quad -k_{11} quad -k_{12} quad cdots quad -k_{1r} quad c_1 \ 0 quad 1 quad 0 quad cdots quad 0 quad -k_{21} quad -k_{22} quad cdots quad -k_{2r} quad c_2 \ cdots quad cdots quad cdots cdots quad cdots qquad cdots quad ; cdots qquad cdots quad cdots \0 quad 0 quad 0 quad cdots quad 1 -k_{n-r,1} ; -k_{n-r,2}-cdots-k_{n-r,r} c_r \ end{array} ight)$

那麼我們的任務就明確了，即通過初等行變換將矩陣

$left( egin{array}{lr} a_{11} quad a_{12} quad cdots quad a_{1n} quad b_1 \ a_{21} quad a_{22} quad cdots quad a_{2n} quad b_2\ cdots quad cdots quad , cdots quad cdots quad cdots \ a_{m1} quad a_{m2} cdots quad a_{mn} quad b_m end{array} ight)$

化為

的形式。

由於這個矩陣對於解線性方程組十分重要，所以還是有必要給它起個名字的，我們將其稱為一個行最簡矩陣。

給出它的嚴格定義之前，我們先給出行階梯形矩陣的定義作為鋪墊：

Def：如果一個矩陣 $A$ （矩陣我們一般習慣用大寫字母表示）滿足

元素全為 $0$ 的行（稱為零行）在下方（如果有零行的話）。
元素不全為 $0$ 的行（稱為非零行），從左邊數起第一個不為 $0$ 的元素（稱為該矩陣的一個主元），它們所在的列數（稱為列指標）隨著它們所在的行數（稱為行指標）的增大而嚴格增大。

那麼就稱矩陣 $A$ 是一個行階梯形矩陣。

可能有點拗口，我們來舉幾個例子，用行階梯矩陣的定義就可以驗證

$left( egin{array}{lr} 2 quad 3 \ 0 quad 1 \ end{array} ight)$ 、 $left( egin{array}{lr} 1 quad 0 \ 0 quad 0 \ end{array} ight)$ 、 $left( egin{array}{lr} 0 quad 1 \ 0 quad 0 \ end{array} ight)$ 是行階梯矩陣，而 $left( egin{array}{lr} 0 quad 3 \ 1 quad 0 \ end{array} ight)$ 、 $left( egin{array}{lr} 0 quad 0 \ 1 quad 0 \ end{array} ight)$ 不是行階梯矩矩陣。

下面給出行最簡矩陣的定義。

Def：如果一個矩陣 $A$ 滿足：

它是行階梯形矩陣。
它的每個非零行的主元都是1。
它每個主元所在列的其餘元素都是0。

那麼就稱 $A$ 是一個行最簡矩陣。

這裡我們也舉出幾個例子

$left( egin{array}{lr} 1 quad 0 \ 0 quad 1 \ end{array} ight)$ 、 $left( egin{array}{lr} 1 quad 0 \ 0 quad 0 \ end{array} ight)$ 、 $left( egin{array}{lr} 0 quad 1 \ 0 quad 0 \ end{array} ight)$ 都是行最簡矩陣，而 $left( egin{array}{lr} 0 quad 0 \ 1 quad 0 \ end{array} ight)$ 、 $left( egin{array}{lr} 2 quad 0 \ 0 quad 1 \ end{array} ight)$ 、 $left( egin{array}{lr} 1 quad 2 \ 0 quad 1 \ end{array} ight)$ 都不是行最簡矩陣。

OK，那麼我們現在的問題就轉化為了把線性方程組所代表的矩陣化為行最簡矩陣。

有點亂？

沒事，做個例題你就理解了。

【例題】

用矩陣的初等行變換解線性方程組

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} 2x_1-3x_2+x_3+5x_4=6 \ -3x_1+x_2+2x_3-4x_4=5 \ -x_1-2x_2+3x_3+x_4=-2 end{array} ight. end{equation}$

【分析】

Step 1：將其化為矩陣形式，即

$left( egin{array}{lr} 2 quad -3 quad 1 quad 5 quad 6 \ -3 qquad 1 , quad 2 -4 quad 5 \ -1 quad -2 quad 3 quad 1 quad 11 end{array} ight)$

Step 2：通過初等行變換將其化為 $left( egin{array}{lr} 1quad 0 quad 0 quad cdots quad 0 quad -k_{11} quad -k_{12} quad cdots quad -k_{1r} quad c_1 \ 0 quad 1 quad 0 quad cdots quad 0 quad -k_{21} quad -k_{22} quad cdots quad -k_{2r} quad c_2 \ cdots quad cdots quad cdots cdots quad cdots qquad cdots quad ; cdots qquad cdots quad cdots \0 quad 0 quad 0 quad cdots quad 1 -k_{n-r,1} ; -k_{n-r,2}-cdots-k_{n-r,r} c_r \ end{array} ight)$ 的形式

【解】

$left( egin{array}{lr} 2 quad -3 quad 1 quad 5 quad 6 \ -3 qquad 1 , quad 2 -4 quad 5 \ -1 quad -2 quad 3 quad 1 quad 11 end{array} ight)$ $xrightarrow{(r_1,r_3)}$ $left( egin{array}{lr} -1 quad -2 quad 3 quad 1 quad 11\ -3 qquad 1 , quad 2 -4 quad 5 \ 2 quad -3 quad 1 quad 5 quad 6 end{array} ight)$ $xrightarrow{ egin{array}{lr} r_2+(-3) imes r_1 \ r_3+2 imes r_1 end{array} }$ $left( egin{array}{lr} -1 -2 quad 3 quad 1 -2\ 0 qquad 7 , quad -7 -7 quad -28 \ 0 quad -7 qquad 7 quad 7 qquad 28 end{array} ight)$ $xrightarrow{r_3+1 imes r_2}$ $left( egin{array}{lr} -1 -2 quad 3 quad 1 -2\ 0 qquad 7 , quad -7 -7 quad -28 \ 0 qquad 0 qquad 0 qquad 0 qquad 0 end{array} ight)$ $xrightarrow{ egin{array}{lr} (-1) imes r_1,\ (frac{1}{7}) imes r_2 end{array} }$ $left( egin{array}{lr} 1 quad 2 quad -3 quad -1 2\ 0 quad 1 quad -1 quad -1 -4 \ 0 quad 0 qquad 0 qquad 0 qquad 0 end{array} ight)$ $xrightarrow{ r_1+(-2) imes r_2 }$ $left( egin{array}{lr} 1 quad 0 quad -1 quad , 1 qquad 8\ 0 quad 1 quad -1 -1 -4 \ 0 quad 0 qquad 0 quad 0 qquad 0 end{array} ight)$

這就是方程組

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_1qquad-x_3+x_4=8 \ qquad x_2-x_3-x_4=-4 end{array} ight. end{equation}$

即

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_1=x_3-x_4-8 \ x_2=x_3+x_4-4 end{array} ight. end{equation}$

這就解出了我們的線性方程組。

我們把這種形式的解成為原線性方程組的一般解。

當然了，我們並不滿足這個解的形式。

因為它並不夠清晰，或者更直接的說，我們想用一種結構化的方式來表示這個解，我們很快就會得出這個結論。

現在我們在回到這個問題的開始。

這裡我要說一下，為了使思路清晰化，寫筆記的時候我喜歡先提出問題，然後在解決問題中會不斷遇到一些子問題，然後就又著手解決子問題。

當然子問題中可能還包含子子問題……以此類推，雖然這樣做整體思路比較清晰，但是有一個缺點，就是有時候會將最初問題的思維線拉得太長，以至於忘了我們最初要做的事。

在思維線過長的時候，我會盡量的重新展現下問題，當然這是你最好可以從頭重新看一下整體的思路。

當然了，如果你的思路足夠清晰的話，是不會出現這種問題的。

好啦，我們列一下當初的問題，這是在解決齊次線性方程組的最後遇到的。

即如何用一種好的方式將方程組

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=0 \ a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=0 \ cdots cdots cdots cdots cdots \ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+cdots+a_{mn}x_n=0 end{array} ight. end{equation}$

化為

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} x_1+x_{r+1}k_{11}+cdots+x_nk_{n-r,1}=0 \ x_2+x_{r+1}k_{12}+cdots+x_nk_{n-r,2}=0 \ vdots vdots vdots vdots vdots\ x_r+x_{r+1}k_{1r}+cdots+x_nk_{n-r,r}=0 \ end{array} ight. end{equation}$

的形式。

現在我們已經完成了這個問題（即通過矩陣的初等行變換來化簡這個方程組）。

這樣我們就可以用矩陣的方法來求解任意一個齊次線性方程組了

這裡是參照上一篇的定理，因為它比較重要，我們在這裡將其重新列一下

Theorem

對於齊次線性方程組 $x_1alpha_1+x_2alpha_2+cdots+x_nalpha_n=0$ ，如果 $rankleft{ a_1,a_2,cdots,a_n ight}=r$ ，那麼該齊次線性方程組解空間的維數為 $n-r$ ，並且 $gamma_1=left( egin{array}{cr} k_{11} \ k_{12} \ vdots \ k_{1r} \ -1 \ 0 \ vdots \ 0 end{array} ight), gamma_2=left( egin{array}{cr} k_{21} \ k_{22} \ vdots \ k_{2r} \ 0 \ -1 \ vdots \ 0 end{array} ight), cdots, gamma_{n-r}=left( egin{array}{cr} k_{n-r,1} \ k_{n-r,2} \ vdots \ k_{n-r,r} \ 0 \ 0 \ vdots \ -1 end{array} ight)$ （具體這些向量是怎麼來的參展上一篇筆記）是該方程組的解空間的一個基礎解系。

空說沒勁，我們來做一個例題

【例題】

求以下齊次線性方程組的一個基礎解系和它的解空間。

$left{ egin{array}{r} x_1+3x_2-5x_3-2x_4=0 \ -3x_1-2x_2+x_3+x_4 =0 \ -11x_1-5x_2-x_3+2x_4=0 \ 5x_1+x_2+3x_3 qquad =0 \ end{array} ight.$

【分析】Step 1：將其化為矩陣形式。（由於齊次線性方程組的增廣矩陣的最後一列都為0，故可只寫係數矩陣進行變換）

Step 2：通過初等行變換將其化為 $left( egin{array}{lr} 1quad 0 quad 0 quad cdots quad 0 quad -k_{11} quad -k_{12} quad cdots quad -k_{1r} quad \ 0 quad 1 quad 0 quad cdots quad 0 quad -k_{21} quad -k_{22} quad cdots quad -k_{2r} quad \ cdots quad cdots quad cdots cdots quad cdots qquad cdots quad ; cdots qquad cdots quad \0 quad 0 quad 0 quad cdots quad 1 -k_{n-r,1} ; -k_{n-r,2}-cdots-k_{n-r,r} \ end{array} ight)$ 的形式。

Step 3：寫出該齊次線性方程組的一個基礎解系，即

$gamma_1=left( egin{array}{cr} k_{11} \ k_{12} \ vdots \ k_{1r} \ -1 \ 0 \ vdots \ 0 end{array} ight), gamma_2=left( egin{array}{cr} k_{21} \ k_{22} \ vdots \ k_{2r} \ 0 \ -1 \ vdots \ 0 end{array} ight), cdots, gamma_{n-r}=left( egin{array}{cr} k_{n-r,1} \ k_{n-r,2} \ vdots \ k_{n-r,r} \ 0 \ 0 \ vdots \ -1 end{array} ight)$

【解】

$left( egin{matrix}{} 1 & 3 &-5 & -2 \ -3 & -2 & 1 & 1 \ -11 & -5 & -1 & 2 \ 5 & 1 & 3 & 0 end{matrix} ight)$ $ightarrow$ $left( egin{matrix}{} 1 & 3 &-5 & -2 \ 0 & 7 & -14 & -5 \ 0 & 28 & -56 & -20 \ 0 & -14 & 28 & 10 end{matrix} ight)$ $ightarrow$ $left( egin{matrix}{} 1 & 0 & 1 & frac{1}{7}\ 0 & 1 & -2 & -frac{5}{7} \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{matrix} ight)$

於是原方程組的一般解為

$egin{equation} left{ egin{array}{r} x_1+qquad x_3+frac17x_4=0 \ quad x_2-2x_3-frac57x_4=0 end{array} ight. end{equation}$

即

$egin{equation} left{ egin{array}{r} x_1=-x_3-frac17x_4 \ x_2=2x_3+frac57x_4 end{array} ight. end{equation}$

其中 $x_3,x_4$ 為自由未知量。

因此原方程組的一個基礎解係為

$eta_1=left( egin{array}{cr} -1 \ 2 \ 1 \ 0 end{array} ight), eta_2=left( egin{array}{cr} -1 \ 5 \ 0 \ 7 end{array} ight)$

（分別取 $x_3,x_4$ 不為零）

於是原方程組的解空間

$W=<eta_1,eta_2>$ （我相信你還沒有忘記這個符號的意思）

用類似的方法我們就可以求出任意一個齊次線性方程組的解空間了。

到此為止，我們解決了線性方程組的一種簡單的情況——齊次線性方程組的解。

下面我們將探討相對複雜一些的非齊次線性方程組

即類似於方程組

$egin{equation} left{ egin{array}{lr} a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=b_1 \ a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=b_2 \ cdots cdots cdots cdots cdots \ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+cdots+a_{mn}x_n=b_m end{array} ight. end{equation}$

解的結構。

類似於齊次線性方程組的探索方法，我們先將它寫成線性表出的形式，也就是

$x_1alpha_1+x_2alpha_2+cdots+x_nalpha_n=eta$ （ $eta e 0$ ）

我們來看看它的解集是不是一個子空間。

我們任取該方程組的兩個解 $gamma$ 和 $delta$ （別忘了我們是把解寫成了向量的形式），它們分別為 $left( egin{array}{cr} c_1\ c_2\ vdots\ c_n end{array} ight)$ 和 $left( egin{array}{cr} d_1\ d_2\ vdots\ d_n end{array} ight)$ ，那麼就有 $c_1alpha_1+c_2alpha_2+cdots+c_nalpha_n=eta$ ， $d_1alpha_1+d_2alpha_2+cdots+d_nalpha_n=eta$ 。

兩式相加，得 $(c_1+d_1)alpha_1+(c_2+d_2)alpha_2+cdots+(c_n+d_n)alpha_n=2eta e eta$ （因為 $eta e 0$ ），於是 $left( egin{array}{cr} c_1+d_1\ c_2+d_2\ vdots\ c_n+d_n end{array} ight)$ 即 $gamma+delta$ 一定不是該方程組的解，由此可知，非齊次線性方程組的解集不是一個子空間。

這就麻煩了，不是子空間，我們就很難用基那一套來表示它的解了，難道就這樣完了？

嘿嘿，其實回過頭來看看，你就會發現一個好玩的地方。

相加不行，我們相減試試。

由上面可知

$(c_1-d_1)alpha_1+(c_2-d_2)alpha_2+cdots+(c_n-d_n)alpha_n=0$

雖然 $gamma-delta$ 仍然不是原方程組的解，但是！

它是方程組

$x_1alpha_1+x_2alpha_2+cdots+x_nalpha_n=0$

即原非齊次線性方程組對應的齊次線性方程組的一個解，我們稱這個齊次線性方程組為原非齊次線性方程組的一個導出組。

於是這句話就可以表述為，任意兩個非齊次線性方程組的解之差為其導出組的一個解。

其實這也可以說成是任一非齊次線性方程組的解與其導出組的一個解之和仍是該非齊次線性方程組的解（你可以自己驗證下）。

如果取原非齊次線性方程組的一個特解為 $gamma_0$ ，其導出組的解空間為 $W$ ，那麼 $gamma_0+W$ （即集合 $left{ gamma_0+eta | etain W ight}$ ）中的元素都是該非齊次線性方程組的解。

也就是說，如果我們設原非齊次線性方程組的解集為 $U$ ，則有 $gamma_0+W subset U$ 。

如果我們能證明出來 $U subset gamma_0+W$ ，那麼就能說明 $U = gamma_0+W$ ，就求出它的解集了，下面我們就來嘗試證明下 $U subset gamma_0+W$

Proof

我們任取 $U$ 中的一個元素 $gamma$ ，由上面知道 $gamma-gamma_0 in W$ ，於是 $gamma in gamma_0+W$

這就證明了 $U subset gamma_0+W$ 。

於是 $U = gamma_0+W$ 。

也就是說，要求一個非齊次線性方程組的解集，我們只要求出它對應導出組的基礎解系和它的一個特解（它的特解通過矩陣的初等行變換來求）就行了。

我們來做道例題。

【例題】

求下述數域 $K$ 上的非齊次線性方程組的解集

$egin{equation} left{ egin{array}{r} x_1+2x_2-3x_3-4x_4=-5 \ 3x_1-x_2+5x_3+6x_4=-1 \ -5x_1-3x_2+x_3 +2x_4=11 \ -9x_1-4x_2-x_3 qquad =17 end{array} ight. end{equation}$

【分析】

Step 1：將其化為矩陣形式

Step 3：求出它的一個特解與其導出組的解空間

Step 4：表示出原方程組的解集

【解】

$left( egin{matrix} 1 & 2 & -3 & -4 & -5 \ 3 & -1 & 5 & 6 & -1 \ -5 & -3 & 1 & 2 & 11 \ -9 & -4 & -1 & 0 & 17 end{matrix} ight)$ $ightarrow$ $left( egin{matrix} 1 & 0 & 1 & frac87 & -1 \ 0 & 1 & -2 & -frac{18}7 & -2 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{matrix} ight)$ （這裡的步驟我們就省略了）

於是原非齊次線性方程組的一般解為

$left{ egin{array}{} x_1=-x_3-frac87x_4-1 \ x_2=2x_3+frac{18}7x_4-2 end{array} ight.$

其中 $x_3,x_4$ 是自由未知量，令 $x_3=x_4=0$ 得到原方程組的一個特解

$gamma_0= left(egin{matrix} -1 \ -2 \ 0 \ 0 end{matrix} ight)$

同時，其導出組的一般解為

$left{ egin{array}{} x_1=-x_3-frac87x_4 \ x_2=2x_3+frac{18}7x_4 end{array} ight.$

（就是將原先的非齊次線性方程組的最後一列全部變為零）

它的一個基礎解係為

$eta_1=left( egin{array}{cr} 1 \ -2 \ -1 \ 0 end{array} ight), eta_2=left( egin{array}{cr} 8 \ -18 \ 0 \ -7 end{array} ight)$

於是原方程組的解集

$U=left{ gamma_0+k_1eta_1+k_2eta_2 | k_1,k_2 in K ight}$ 即 $gamma_0+<eta_1,eta_2>$

小結

OK，到此為止，我們終於完整地解決了線性方程組的問題。

小結一下，為了解決這個問題，我們先從它的一個簡單情況——齊次線性方程組入手，並貴擋殺鬼佛擋殺佛，解決了一系列中途出現的問題，然後發現它的解集實際上就是一個子空間。

於是我們又接著尋找並最終找到了求其基礎解系的一般性方法。

接著我們回過頭來搞非齊次線性方程組，發現他的解實際上一個特解與其導出組——一個齊次線性方程組的結合，這就又解決了非齊次線性方程組解的結構的問題。

就此作為子空間與基的一個簡單應用，完整的解決了此類問題。

從下一篇開始，我們又要回到我們的正軌——線性空間上了，我們之前用基的格式第一次在一定程度上了解了線性空間的結構，在下一篇中我們將繼續從另一種角度——劃分來解析線性空間的結構。

下面是一些習題與上一篇習題的答案或提示。

Exercise

1.求下列數域 $K$ 上齊次線性方程組的一個基礎解系與其的解空間

$left{ egin{array}{c} x_1-3x_2+x_3-2x_4=0 \ -5x_1+x_2-2x_3+3x_4=0 \ -x_1-11x_2+2x_3-5x_4=0 \ 3x_1+5x_2+qquad +x_4=0 \ end{array} ight.$

2.求下列數域 $K$ 上非齊次線性方程組的一個基礎解系與其的解集

$egin{equation} left{ egin{array}{c} 2x_1-3x_2+x_3-5x_4=1 \ -5x_1-10x_2-2x_3+x_4=-21 \ x_1+4x_2+3x_3 +2x_4=1 \ 2x_1-4x_2+9x_3-3x_4=-16 end{array} ight. end{equation}$

對於上一篇練習的參考答案或提示

1.證明Theorem中的向量組 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_{n-r}$ 線性無關。

（由於縮短組線性無關）

2.證明線性方程組解的情況只有三種（即無解、有唯一解和有無窮多解）

（因為無解時只有唯一解和無窮集兩種情況【上一篇已說】，所以只要證明存在無解的的情況即可，這是顯然的）

3.設數域 $K$ 上的 $m imes n$ 矩陣 $H$ 的列向量組為 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 。證明： $H$ 的任意 $s$ 列（ $s leq min left{ m,n ight}$ ）都線性無關 $Leftrightarrow$ 齊次線性方程組 $x_1alpha_1+x_1alpha_2+cdots+x_1alpha_n=0$ 的任一非零解的非零分量的數目大於零（丘維聲《高等代數》P95 例11）

（提示：用反證法。）

好了，這就是今天的全部內容了，雖然這部分相對簡單，但是在一般的線性代數考試中都會有類似的計算題，當然解線性方程組作為一個基本技能在以後也多次會用到，所以不熟練的同學務必多做幾道習題鞏固一下。

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