阻尼拋體運動的幾種解法

考慮線性阻尼的斜拋運動是一個很基本的問題，該問題的背景設置如下：

一質量為 的質點在均勻重力場 中以初速度 拋出，運動過程中除重力外始終受到 的阻力，試解出該質點的運動。

解法1：分量形式暴算

初學的時候一般會寫出牛頓第二定律的分量形式，直接暴算，具體解法如下：

質點只受重力和線性阻力，於是由牛頓第二定律有：

帶入 ，並令 ，有：

下面把 式寫成分量形式，發現 方向上的運動各自滿足獨立的微分方程：

各自分離變數並積分即可得到 ，再次積分可得 ，這部分內容從略。

解法2：矢量分析法

我們盯著 式看，思考一下是不是可以不藉助分量直接解，稍微變形一下：

為了湊微分，兩邊乘上一個 ：

發現可以湊出一個微分：

於是有：

由初始條件 可以確定 ，並且有：

再次積分便可得到 。

這個方法繞過了分量形式，直接處理矢量式，其中的關鍵在於湊出微分。

解法3：複數法

湊微分看不出來怎麼辦？我們繼續盯著 式看，內心裡有一種衝動想要把等號左邊的東西除到右邊去，除過去就可以分離變數直接積分了，可是矢量沒有除法，怎麼辦？

由於是平面運動，我們想到了一個與矢量很相似的東西：複數。如果把平面看做複平面， 軸看做實軸， 軸看做虛軸的話，可得：

於是就可以順利地分離變數並積分：

得到：

可以看出與矢量法結論一致，再次積分便可得到 。

複數法解決這類平面運動問題非常簡潔，本質上是源於複數定義了除法。

阻尼拋體問題本身是個很trivial的問題，不過還有一類不那麼簡單的問題也可以使用複數法秒殺：帶電粒子在電磁場中作平面運動的問題。

這類問題往往由於洛倫茲力導致 坐標的微分方程相互耦合，一種解決方法是通過坐標系變換消除電場力轉化為圓周運動解決，而複數法中洛倫茲力 可以表示為 （此處默認 垂直於紙面向內），於是就可以容易地分離變數，問題秒殺，如果再加入阻尼力等也一樣可以解決。