分析和代數原理(2)

05-13

線性空間

稱集合 $V$ 是域 $K$ 上的線性空間， $K$ 是任意的域， $V$ 的元素稱作向量，若加法群 $(V,+)$ 是單位元為 $0in V$ 的交換群，而二元運算數乘 $cdot : K imes V o V$ 滿足 $1·x=x,1in K$ ； $forall a,bin K,forall x,yin V$ ， $(ab)x=a(bx),a(x+y)=ax+ay,(a+b)x=ax+bx$ 。在處理向量時，有時會記向量為 $overset{ o}{x}$ ，但更多時候不在 $x$ 上方加箭頭。由於數量0和向量0的記法一樣，所以在處理時需要注意。

稱域 $K$ 上的線性空間 $V$ 和 $V$ 同構，若有同構映射 $f : V o V$ 滿足 $forall lambda,muin K,forall v_1,v_2in V$ ， $f(lambda v_1+mu v_2)=lambda f(v_1)+mu f(v_2)$ 且 $f$ 是雙射。兩個線性空間同構，就相當於是說它們兩者一樣，因為兩者的線性結構一樣，而我們在線性空間中只引入了這一個結構。實際上上面這個等式里左邊的加號和右邊的加號代表的是不同的意思，但一般這不至引起歧義，所以不做區分。

稱 $sum_{i=1}^{n}{lambda_{i}x_{i}}=lambda_{1}x_{1}+cdots +lambda_{n}x_{n}$ 是 $x_{i}in V$ 以 $lambda_{i}in K$ 為係數的線性組合，其中 $nin mathbb{N}$ 。我們常用數量或標量來稱呼這些係數 $lambda_{i}$ ，以區分向量。若有不全為零的標量 $lambda_{i}$ 使 $sum_{i=1}^{n}{lambda_{i}x_{i}}=0$ ，則稱向量組 $x_{i}$ 是線性相關的；否則就稱其是線性無關的。

命題 向量組 $x_{i}$ 線性相關，當且僅當其中一個向量是其餘向量的線性組合。

命題 若線性無關的向量組 $x_{i}space(iinleft{ 1,...,s ight})$ 中的每個向量都是 $e_{i}space(iinleft{ 1,...,t ight})$ 的線性組合，那麼 $sleqslant t$ 。

若一個向量組中能選出一個線性無關組 $e_{i}$ 使其餘向量是線性無關組的線性組合，那麼稱 $e_{i}$ 是向量組的一個極大無關組，極大無關組所含的向量個數是向量組的秩。若線性空間 $V$ 的極大無關組有 $n$ 個向量，則稱它是 $n$ 維的，記作 $mathrm{dim}V=n$ 。若 $V$ 中有任意多向量線性無關，則稱 $V$ 是無窮維的。我們暫時只研究有限維的。對於這樣的線性空間，即域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間 $V$ ，稱任意 $n$ 個線性無關向量 $e_{i}$ 是 $V$ 的一組基。

定理域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間 $V$ 有一組基 $e_{i}$ ，那麼 $forall xin V,exists !lambda_{i}in K,sum_{i=1}^{n}{lambda_{i}e_{i}}=x$ 。

稱上面定理中的係數 $lambda_{i}$ 是 $x$ 在基 $e_{i}$ 下的坐標。通常把坐標記成 $x=(lambda_{1},dots lambda_{n})$ 的形式。

需要特別說明的是，域 $K$ 本身也是一個線性空間。這給了我們提出下述命題的理由：

命題 域 $K$ 上所有n維線性空間 $V^n$ 同構於 $K^n=K imescdots imes K$ 。

現在給定兩組基 $e_{i}$ 和 $e_{i}$ 。很多時候，基的選擇對於一些性質是無關緊要的。稱這樣的性質是坐標系無關的。我們來研究一組基用另一組基的表示方法：

$e_{1}=a_{11}e_{1}+a_{21}e_{2}+dots +a_{n1}e_{n}\ cdotscdotscdotscdotscdotscdotscdotscdots\ e_{n}=a_{1n}e_{1}+a_{2n}e_{2}+dots +a_{nn}e_{n}$

其中 $a_{ij}space(i,jinleft{ 1,dots n ight})$ 是待定係數。為了方便研究，我們把這些係數，連同這個排列的方式（行、列）稱作是一個矩陣，記作 $A=(a_{ij})=left[ egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ cdots & cdots & cdots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{matrix} ight]$ 。

矩陣

現在來詳細研究矩陣的性質。稱形如 $left[ egin{matrix} a_{1} \ a_{2} \ cdots \ a_{n}end{matrix} ight]$ 的矩陣是n維列向量，它顯然是域 $K$ 上n維線性空間 $V^{n}$ 的元素，取一組基 $e_{i}=left[ egin{matrix} 0 \ 0 \ cdots \a_{i} \cdots \ 0end{matrix} ight]$ 即可，其中 $a_{i}$ 在第 i 行的位置上。稱(域 $K$ 上)n維列向量的空間是列向量空間。同樣的，有n維行向量 $(a_{1},cdots,a_{n})$ 。從這裡開始，有時會簡記"n維線性空間 $V$ "為 $V^{n}$ 。

令 $V^n$ 和 $W^m$ 分別是域 $K$ 上的n維列向量空間和m維列向量空間，而 $A=(a_{ij})$ 是一個 $m imes n$ 階矩陣，即 $iinleft{ 1,dots,m ight},jinleft{ 1,dots,n ight}$ 。給定一個映射 $varphi_A : V^n o W^m$ ，它把 $forall x=left[ egin{matrix} x_{1} \ x_{2} \ cdots \ x_{n}end{matrix} ight]in V^n$ 映為 $varphi_A(x)=x_1A^{(1)}+dots+x_nA^{(n)}=y=left[ egin{matrix} y_{1} \ y_{2} \ cdots \ y_{m}end{matrix} ight]$ ，其中 $A^{(j)}$ 是矩陣 $A$ 的第 j 個列向量。這個關係即 $y_i=sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_j}$ 。很容易驗證， $forall x,xin V^n$ ， $varphi_A(x+x)=varphi_A(x)+varphi_A(x)$ ，並且 $forall lambdain K,varphi_A(lambda x)=lambda varphi_A(x)$ 。

稱映射 $varphi : V^n o W^m$ 是 $V^n$ 到 $W^m$ 的線性映射，其中 $V^n,W^m$ 是域 $K$ 上的線性空間，若 $forall x,xin V^n,forall lambda,muin K$ ， $varphi(lambda x+mu x)=lambdavarphi(x)+mu varphi(x)$ 。

定理 $V^n$ 到 $W^m$ 的線性映射的集合與 $m imes n$ 階矩陣的集合同構。

這個定理讓研究矩陣變成了研究線性映射。下面就通過線性映射對矩陣的性質做一些簡述。

稱一些向量 $x_i$ 的所有線性組合的集合，是這些向量的線性生成空間或線性包，記作 $langle x_1,dots,x_n angle$ 。稱矩陣的所有列向量的線性生成空間的維數是矩陣的列秩，而所有行向量的線性生成空間的維數是矩陣的行秩。

定理 任意矩陣的列秩和行秩相等。

這個定理給了我們理由，稱矩陣 $A$ 的秩是它的列秩或行秩，記作 $mathrm{rank}A$ 。

線性映射的性質給出了矩陣的加法交換群和乘法半群：兩個矩陣相加 $C=lambda A+mu B$ 其中 $lambda,muin K$ ，那麼 $c_{ij}=lambda a_{ij}+mu b_{ij}$ ;兩個矩陣相乘 $C=AB$ ，那麼 $c_{ij}=sum_{k=1}^{s}{a_{ik}b_{kj}}$ 其中 $A$ 是 $m imes s$ 矩陣而 $B$ 是 $s imes n$ 矩陣。

稱一個 $m imes n$ 矩陣是方陣如果 $m=n$ 。稱n階方陣 $E=left[ egin{matrix} 1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & 1 & cdots & 0 \ cdots & cdots & cdots & cdots \ 0 & 0 & cdots & 1 end{matrix} ight]$ 是單位矩陣。

命題 任意矩陣 $A$ ， $AE=EA=A$ 。

在上面這個命題中，我們至少告訴了兩件隱含的事：一是 $E$ 的階要根據相乘的對象情況來選擇，二是矩陣的乘法不交換。

稱矩陣 $A^T=(a_{ji})$ 是 $A=(a_{ij})$ 的轉置矩陣。稱 $A^{-1}$ 是方陣 $A$ 的逆矩陣，若 $A^{-1}A=AA^{-1}=E$ 。若 $mathrm{rank}A=n$ ，則稱n階方陣是非退化的；否則就稱它是退化的。

定理 矩陣有逆矩陣，當且僅當它非退化。

命題矩陣 $A$ 的轉置和逆可以交換，即 $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$ ，若它非退化。

命題 $(A_{1}A_{2}cdots A_n)^{-1}=A_n^{-1}cdots A_2^{-1}A_{1}^{-1}$ ，若 $A_1,dots A_n$ 均非退化； $(A_{1}A_{2}cdots A_n)^{T}=A_n^{T}cdots A_2^{T}A_{1}^{T}$ 。

置換

稱從n元有限集 $Omega$ 映到其自身的映射 $pi : Omega oOmega$ 是一個置換。為方便起見，一般令 $Omega=left{ 1,...,n ight}$ 。 $Omega$ 上置換的全體記作 $S_n(Omega)$ 。寫成清晰一點的，就是 $pi(i_k)=j_k$ ，其中 $i_k,j_kinOmega$ 。寫成更顯眼的形式， $pi=left[ egin{matrix} 1&2&cdots&n\j_1&j_2&cdots&j_n end{matrix} ight]$ ，這表明 $pi(1)=j_1,...,pi(n)=j_n$ 。恆等置換， $e(i)=i$ 其中 $iinOmega$ 。

現在來定義置換的乘法。置換，本質上是映射，它的乘法就是映射的複合。一般用 $(sigma au)(i_k)=sigma( au(i_k))$ 代替 $(sigmaspacecircspace au)(i_k)$ 這樣的寫法。易驗證 $S_n(Omega)$ 關於乘法是一個群，稱這個群是n元對稱群。

稱 $pi=left[ egin{matrix} j_n&j_1&cdots&j_{n-1}\j_1&j_2&cdots&j_n end{matrix} ight]$ 是一個長為n的循環。稱長為2的循環是一個對換。

定理 任意置換都是對換的乘積。

不計順序，上述定理給出了任意置換用對換給出的唯一分解式： $pi=sigma_1cdotssigma_m$ 。稱 $varepsilon_pi=(-1)^m$ 是置換 $pi$ 的符號。若 $varepsilon_pi=1$ 稱 $pi$ 是偶置換，若 $varepsilon_pi=-1$ 稱 $pi$ 是奇置換。

多重線性映射

稱映射 $f : V_1 imes V_2 imesdots imes V_p o U$ 是多重線性映射，或p線性映射，其中 $V_i$ 和 $U$ 是域 $K$ 上的線性空間，若對固定的 $v_jin V_j,j e i$ ，映射 $f_i : xmapsto f(v_1,dots,v_{i-1},x,v_{i+1},dots,v_p)$ 是線性映射。把所有 $V_1 imes V_2 imesdots imes V_p o U$ 的多重線性映射的集合記作 $mathcal{L}(V_1, V_2,dots, V_p;U)$ 。當 $V_1=dots=V_p=V$ 時，簡記 $mathcal{L}(V_1, V_2,dots, V_p;U)$ 為 $mathcal{L}_p(V,U)$ 。

若對任意置換 $piin S_p(Omega)$ ， $f(x_{pi(1)},dots,x_{pi(p)})=f(x_1,dots,x_p)$ 則稱多重線性映射 $f$ 是對稱形式，若 $f(x_{pi(1)},dots,x_{pi(p)})=varepsilon_pi f(x_1,dots,x_p)$ 則稱多重線性映射 $f$ 是斜對稱形式或交錯形式。之後經常用到的稱呼，不是線性映射，而是線性形式。

行列式

稱 $mathrm{det}A=|A|=left| egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ cdots & cdots & cdots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{matrix} ight|$ = $sum_{piin S_n(Omega)}{varepsilon_pi a_{1pi(1)} a_{2pi(2)} cdots a_{npi(n)}}$ 是方陣 $A=(a_{ij})$ 的行列式，其中求和是對所有的置換 $piin S_n(Omega)$ 而言。根據這個定義可以得到二階行列式： $left| egin{matrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{matrix} ight|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ ，三階行列式 $left| egin{matrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31} & a_{32} &a_{33} end{matrix} ight|=$ $a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$ 。

定理映射 $mathrm{det} : M_n(K) o K$ 具有以下性質，其中 $M_n(K)$ 是域 $K$ 上的全體n階方陣的集合：(1)行列式是矩陣的列和行的斜對稱形式，即交換矩陣的兩列或兩行的位置，行列式變為它原本的相反數 (2)行列式是矩陣的列和行的多重線性形式 (3) $mathrm{det}E=1$ (4) $mathrm{det}A=mathrm{det}A^T$ (5) $mathrm{det}AB=mathrm{det}A cdot mathrm{det}B$ 。

對偶空間

令 $V$ 是域 $K$ 上的線性空間，稱 $V$ 上所有線性形式構成的線性空間 $mathcal{L}(V,U)$ 是 $V$ 的對偶空間，記作 $V^*$ ，其上的線性結構由 $forall lambda,muin K,forall f,gin V^*,forall xin V$ ， $(lambda f+mu g)(x)=lambda f(x)+mu g(x)$ 給出。稱 $V$ 中向量是逆變向量，而稱 $V^*$ 中的映射作為線性空間向量為共變向量。

定理 n維線性空間 $V$ 的對偶空間也是n維線性空間，同時如果 $e_i$ 是 $V$ 的一組基，那麼線性形式 $e^i$ 是 $V^*$ 的一組基，其中 $e^i(e_j)=delta_{ij}$ ， $delta_{ij}=left{ egin{array}{}1 ,i=j\ 0,i e j \ end{array} ight.$ 是Kronecker符號。

稱上面這個定理給出的基 $e^i$ 是相對於 $e_i$ 的對偶基。

定理 $Vacksimeq V^{**}$ 。

再次強調，同構的線性空間有一樣的線性結構從而它們是完全相同的。這個定理給出了充足的理由，把向量和它的線性形式完全等價。