【拓撲】連續函數、積拓撲、(箱拓撲*)

05-13

鹹魚日久，我覺得快要學不走了（趴

用拓撲的觀點重新定義連續函數：

設X和Y是兩個拓撲空間。函數 $f：X→Y$ 稱為連續的，如果對於Y中的每一個開子集V， $f^{-1}(V)$ 是X中的一個開子集。

注意到以定義證只需證明一個基的原像都是開集即可。

首先證明的是這個定義方式與 $varepsilon-delta$ 定義是等價的：（對於 $f：mathbb R ightarrow mathbb R$ 而言）

$Rightarrow):$ 對於 $mathbb R$ 中的點 $x_0$ ，給定 $varepsilon>0$ ,區間 $V=(f(x_0)-varepsilon,f(x_0)+varepsilon)$ 是值域 $mathbb R$ 的開集，則 $f^{-1}(V)$ 是定義域中的開集，其一定包含一個包含 $x_0$ 的基元素 $(a,b)$ ;取 $delta=min{x_0-a,b-x_0}$ ,當 $|x-x_0|<delta$ 時， $x$ 在 $（a，b）$ 中，故 $f(x)in V,|f(x)-f(x_0)|<varepsilon$ .

$Leftarrow):$ 對於值域中任意的開集 $(a,b)$ 且 $f(x_0)in (a,b)$ ,給定 $varepsilon>0$ ,由 $|x-x_0|<delta$ 可以構造一個開集 $(x_0-delta,x_0+delta)s.t.(a,b)supset(f(x_0-delta),f(x_0+delta))supset (f(x_0)-varepsilon,f(x_0)+varepsilon)$

則 $(x_0-delta,x_0+delta)subset f^{-1}((a,b))$ ,進而 $f^{-1}((a,b))=(f^{-1}(a),x_0+delta)igcap(x_0-delta,f^{-1}(b))$

Q.E.D

Note: ① $f:mathbb R ightarrow mathbb R_l$ 為恆等函數，但不是連續函數；反過來結論成立

下面給出更多的關於連續定義的等價定理：

Thm. 設X和Y是兩個拓撲空間， $f：X ightarrow Y$ .下麵條件是等價的：

①f連續；

②對於X的任意子集A，有 $f(ar{A})subsetstackrel{mathrm{——}}{f(A)}$ ；

③對於Y的任意一個閉集B， $f^{-1}(B)$ 是X中的一個閉集；

④對於每一個 $xin X$ 和f（x）的每一個鄰域V，存在x的一個鄰域U使得 $f（U）subset V$ .

有了很多證明連續的方法以後給出同胚的定義：

Def. 設X和Y是兩個拓撲空間， $f：X ightarrow Y$ 是一個一一映射。如果函數f和他的反函數都連續，則f被稱為一個同胚。

顯然，另一個等價定義是「f（U）是一個開集 $Leftrightarrow$ U是一個開集」.

類比於抽代中的同構概念，同構是保持代數結構不變的一一映射，而同胚則是保持拓撲結構的一一映射。

當限制值域得到的一一映射是同胚時，這時我們稱f為一個拓撲嵌入。

在證明連續的時候，自然在淑芬里所用的證明方法同樣適用。

e.g. [0，1）到單位圓的某個一一映射f，有 $f(t)=(cos heta,sin heta)$ ,易見這是一個連續的但不是同胚的函數，當擴大值域為 $mathbb R^2$ 時，它也不是嵌入。

有了以上作為基礎我們可以愉快的進行構造連續函數了。不過開始的構造方法與結論過於基礎，直接跳過吧。

介紹一個引理：

pasting lemma(黏結引理):設 $X=Aigcup B$ 且A與B是X中的閉集。 $f：A ightarrow Y$ 與 $g:B ightarrow Y$ 都是連續函數。若對任意 $xin Aigcap B$ 都有f（x）=g（x），則 $h：X ightarrow Y$ 連續： $xin A,h(x)=f(x);xin B,h(x)=g(x).$

Thm.（到積空間的映射） $f:A ightarrow X imes Y$ 定義為 $f(a)=(f_1(a),f_2(a))$ ,連續條件是 $f_1,f_2$ 都連續，其中 $f_1,f_2$ 被稱為坐標函數.

值得注意的是，反過來即從二維到一維時，運用類似的思想證明是無效的。這一小塊將在下一章積拓撲中詳細展開。

最後，所熟知的連續實值函數的加減乘除依然連續的嚴格證明將在度量拓撲中說明；一致連續定理，即一個實變數連續實值函數序列一致收斂於一個極限函數，那麼極限函數必為連續函數也可以用來構造連續函數；其也直接證明了三角函數（用級數形式寫出）的連續性。

關於箱拓撲和積拓撲，書上寫了一大堆繞一繞就繞暈了......但是其實並沒有那麼麻煩，我們只需知道箱拓撲是按照之前兩個拓撲空間定義積拓撲的那種方法得來的，而推廣的積拓撲則是按照逆投射形成的子基的方式定義的。

在有限個拓撲空間相乘時，箱拓撲與積拓撲並沒有什麼區別；但是無限個時，我們斷言箱拓撲一般細於積拓撲（簡言之是積拓撲的基元素可以有無限多個坐標函數為對應空間本身）

事後諸葛亮一回（書上不解釋完我也很絕望2333），箱拓撲更多的是作為一種舉反例的常用手段存在的；在研究性質時，更多的我們關注的是積拓撲。

積拓撲的更好的性質可以從下面這個定理中略見一斑：實際上就是將剛才所講的到積空間映射的定理推廣到了無窮；而此時只有積拓撲是滿足這個定理成立的。書上給出了箱拓撲不成立的反例，歸根結底還是無窮惹的禍......

例如，要找 $B=(-1,1) imes(-frac{1}{2},frac{1}{2}) imes ...$ 這樣的 $f^{-1}(B)$ 的開集（f是R從一維到無窮維），其必然包含形如 $(-delta,delta)$ 的區間, $f((-delta,delta))subset B$ .將投射作用於這個包含關係兩邊，對於任意大的n都應該滿足 $(-delta,delta)subset (-frac{1}{n},frac{1}{n})$ ,顯然是個矛盾的式子。

T.B.C.