第三期: 【Fourier級數與泛音】+「紙上」彈的白樺林。

作者:吳笛

第三期：音頻請點擊此鏈接.mp3 或關注微信公眾號：方程之聲

上一期回顧

上一期我們在紙上任意畫一個波形，把這個波形當作樂器的聲音，來演奏出音樂。核心知識：頻率決定音高，波形決定音色。正弦波，三角波和方波的音色的區別。不同波形的音色千差萬別，其背後蘊含著什麼樣的秘密？

Fourier級數

任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，稱為傅立葉級數。

當n越大，Fourier級數越接近原函數。

三角波：

對比三角波和方波，三角波高頻信號的幅值隨著頻率的增加呈1/f^2衰減，而方波高頻信號的幅值隨著頻率的增加呈1/f衰減。所以方波高頻信號的幅值要比三角波大的f倍

三角波頻譜圖：

方波頻譜圖：

泛音

任何一個頻率為f的周期y(t)振動都可以寫成Fourier的級數的形式。即它是由頻率為f,2f,3f,...nf的正弦餘弦振動疊加起來，基頻f的振動稱為基音，其倍頻振動2f,3f,4f,5f,6f,7f...為泛音列。在鋼琴上c1的2倍頻~11倍頻的泛音列分別對應於 c2 g2 c3 e3 g3 降b3 c4 d4 e4 升f4（音頻中，降低了一個8度彈，泛音列聽起來很和諧）。鋼琴上任何一個琴鍵的聲音都是由很多頻率混在一起，只是基頻的幅值最大。也可說，基頻的頻率決定音色，倍頻幅值決定聲音的音色。

當我們任意畫一段曲線時，並以此為一個周期拓展出的聲波。無論我們畫出如何複雜的曲線，它的聲音都是由基音和泛音列按照不同的比例疊加起來。

如下圖為手工繪製的任意波形，通過Fourier變換得到這個波形的頻譜圖。在頻譜圖中可以清楚的看到基音與泛音的信號以及他們的幅值大小。

是否知道基音和泛音列之間的比例關係，音色就去確定了呢？如果那樣的話，通過基音和泛音之間的比例，就可以像調色板一樣調出任何一種音色呢？留一個小懸念，以後再做一個專題討論吧。

「紙上彈音」——眾樂樂

上一期邀請大家在手機上和紙上任意畫出一條曲線，發到微信公眾號里。現在就把大家畫的曲線做出樂器，給大家展示一下。

1.」剪刀手」——By 溫***

2」俄羅斯方塊」——By 馬***

3.琚說是」某實驗結果」——By 琚***

4.「放電中的皮卡丘」——By夢***

5.「放電後的皮卡丘」——By夢***

6「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同」——By L***

尾聲：今天沒有創作靈感，K一個TV，《白樺林》

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