剛體（二）：質量幾何

05-13

質心可定義為 $m r_c=sum_{n=1}^{N}{m_nm r_n over M}quad where M=sum_{n=1}^{N}{m_n}$

這一定義需要適用於所有質點系統，因此其唯一確定性需要證明——即需要證明它在坐標變換下服從位矢的變換.（這在相對論下並不成立）.

系統繞軸 $u$ 的軸慣性矩為

$J_u:=M ho^2:=sum_{n=1}^{N}m_i ho_i^2$

$ho$ 稱為系統的迴轉半徑.

系統對點O的極慣性矩為

$J_O=sum_{n=1}^{N}{m_ir_i^2}$

練習：試證明系統對質心的極慣性矩最小.

這一性質顯然不依賴於坐標系的選取，故得到質心的唯一確定性.

定理一（Steiner定理）：系統對一條軸的軸慣性矩，等於其對平行於此軸而過質心的軸的軸慣性矩 + 系統質量 × 質心到此軸的距離2.

設軸 $u$ 的方向餘弦為 $m{hat{n}}=(alpha,eta,gamma)^T$ ，可以做分解

$J_u=J_{xx}alpha^2+J_{yy}eta^2+J_{zz}gamma^2-2J_{xy}alphaeta-2J_{yz}etagamma-2J_{zx}gammaalpha$

其中

$egin{align*}J_{xx}&=sum_{n=1}^{N}{m_n(y_n^2+z_n^2)}quad &J_{yy}&=sum_{n=1}^{N}{m_n(z_n^2+x_n^2)}quad &J_{zz}&=sum_{n=1}^{N}{m_n(x_n^2+y_n^2)}\ J_{xy}&=sum_{n=1}^{N}{m_nx_n y_n}quad&J_{yz}&=sum_{n=1}^{N}{m_ny_n z_n}quad&J_{zx}&=sum_{n=1}^{N}{m_nz_n x_n}end{align*}$

構成二階對稱張量

$m{J}overset{cdot}{=}egin{bmatrix}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\-J_{xy}&J_{yy}&-J_{yz}\-J_{xz}&-J_{yz}&J_{zz}\end{bmatrix}$

對角元非負而非對角元非正是表徵各種慣性的張量的重要特徵.

可以得到

$Ju=m{hat{n}}^T m{J} m{hat{n}}$

令 $m{J}$ 對角化的基稱為慣量主軸.