[Rendering] 基於物理的大氣渲染

# 要解決的問題

以下我們推導單次散射（single scattering）的氣渲染模型，即光線從太陽發出過、只經過一次散射被改變方向後射入我們的眼睛。

下圖顯示了我們觀察大氣時的觀察路徑AB，我們想知道B點的大氣顏色：

這個過程實際上就是對視線路徑AB上每一點的光照貢獻進行一個積分，下面我們把問題一步步拆分。

## 問題一：P點的光照是什麼？

由於我們關心的是單級散射，那麼唯一的一次散射發生在路徑AB上的每一點P，那麼該點的光照強度Ip要怎麼求呢？它可以理解成是，從P點出發沿著光照方向與大氣邊緣的交點為C，從C點的光照（我們認為大氣層邊緣的光照就是太陽發出的光照）經過路徑CP衰減後到達P點的光照：

用公式表示就是：

其中，T項是衰減係數（Transmittance），它表示在某段路徑上的對光照的衰減程度。該公式也可以被認為是零級散射（zero scattering），即不考慮任何散射事件、直接考慮經過衰減後光強。

## 問題二：在P點發生了什麼？

我們已知到達P點的光照強度為Ip，那麼光線在P點經過一次散射後、經路徑PA其他大氣粒子的衰減後，最終到達人眼的光照強度Ipa為：

其中，λ是波長，θ是圖中所示的光線入射方向和觀察方向的夾角，h是P點的高度。通俗解釋下，S項是散射係數（Scattering），它表示此次散射事件中有多少光被反射到了θ方向上，T項是衰減係數（Transmittance），它表示在PA路徑上的對光照的衰減程度。它們之間是有聯繫的，簡單來說正是因為大氣對光線不斷發生散射（S項）才導致經過一定路徑後光線會發生衰減（T項）。接下來對每一項進行解釋。

(1) 散射係數： S(λ,θ,h)

散射係數和粒子的大小和折射率有關，這裡就得解釋一下大氣粒子的分類。我們知道大氣中有很多不同種類的大氣分子/粒子，一般在大氣渲染模型里把它們分成兩大類。一種是小分子，例如氮氣和氧氣分子等，另一種是大粒子，例如各種塵埃粒子。之所以要進行分類是因為它們對光線有著不一樣的行為（這裡忽略對光的吸收，只考慮散射）：

• 小分子：指大小遠小於光線波長的粒子。小分子對光的散射在前後方向上分布比較均勻，通常會使用Rayleigh散射（Rayleigh Scattering）對它們進行建模。由於這些分子大小比波長還要小很多，因此光的波長也會影響Rayleigh散射的程度。
• 大粒子：指大小遠大於光線波長的粒子。大粒子在發生散射的時候會把更多的光散射到前向，通常會使用Mie散射（Mie Scattering）對它們進行建模。由於光的波長相較於這些粒子大小來說是可以忽略的，因此我們認為Mie散射跟光線波長無關。

下面以Rayleigh散射為例，解釋S(λ,θ,h)的含義。這裡直接給出公式，在Rayleigh散射模型中，散射到θ方向上的比例為：

其中，λ是光的波長，n是粒子折射率，N是海平面處的大氣密度，ρ(h)是高度h處的相對大氣密度（即相對於海平面的密度，可以理解成h處真正的大氣密度與海平面處大氣密度的比值，因此它在海平面處值為1，隨著h增加不斷減小），我們一般會使用指數函數對它的真實曲線進行數學擬合（是一種近似擬合，不要和後面提到的指數函數弄混）：

其中，H是大氣的整體厚度。

可以看出Rayleigh散射大致和波長的4次冪的成反比，波長越小（越靠近紫光）的光被散射得越厲害。所以白天的時候天空為藍色，因為藍光在大氣里不斷被散射，黃昏的時候天空會變紅，因為相比於白天，陽光此時要穿越更厚得多的大氣層，在到達人眼之前，大多數藍光都被散射到其他方向，所以剩下來的就是紅光了。

(2) 衰減係數：T(PA)

對於大氣粒子對光的散射，在傳播路徑PA上光線會繼續衰減。S(λ,θ,h)關心的是被反射到某一特定角度上的光線比例，那麼現在我們就需要考慮經過一次散射後，在入射方向上還「剩下來」多少光。

我們先來看一次衰減。假設I0在經過一次散射後損失了β比例的能量，則剩餘的能量I1為：

那麼經過一段傳播路徑PA後，餘下的能量為：

• 簡單情況：如果β為定值，我們可以直接通過微積分得到衰減一段距離x後的剩餘能量：

• 複雜情況：複雜情況是β是與波長λ和高度h都相關，即不能簡單地當成定值。此時，我們就需要用積分來表示了：

那麼問題是，β是什麼？在簡單情況下，也是很多遊戲里霧效的實現方法中，就拿一個類似霧效密度的參數來代替β。在複雜情況下，我們就需要考慮真實的β是如何計算的。

之前我們一直在討論的S(λ,θ,h)是在某方向上的散射係數，那麼β就是在所有方向上的總散射係數。我們還是以Rayleigh散射為例，如果我們對Rayleigh散射的S(λ,θ,h)做球面積分，得到總散射係數β(λ,h)為：

終於，我們的公式長度縮短成了兩項，不用再看密密麻麻的符號了！上式可以理解成，β(λ)是海平面處的散射係數，隨著高度增加，散射強度也不斷減小。因為大氣相對密度ρ(h)不斷減小。據此，我們可以改寫T(PA)部分，可以看出，β(λ)其實只跟波長相關，在傳播路徑上不需要進行積分，因此可以提到積分外部：

我們可以進一步改寫其中的積分項。對比簡單情況下的公式，積分項對應的其實就是路徑長度x，而這部分積分可以理解成光學距離——Optical Depth：

同樣，我們也可以改寫S(λ,θ,h)部分：

其中，P(θ)表示在這些被散射的能量中，有多少比例被反射到了θ方向上，它有一個專有名字——相位函數（Phase Function），也被稱為Scattering Geometry。所以對於Rayleigh散射來說，它的相位函數就是：

至此，我們簡單推導了S項和T項，這樣一開始的公式就可以寫成：

總結起來，公式表示的含義就是，計算觀察路徑AB上某一點P的光照貢獻：

1. 光線從太陽出發，到達大氣邊緣的C點
2. 經過路徑CP上的衰減到達P點（0級散射）
3. 在P點發生一次散射，將一部分光散射到了觀察方向上（1級散射）
4. 這部分光又經過AP路徑上的衰減最終到達了我們的眼睛

## 問題三：路徑AB之間發生了什麼？

P只是AB上的某一點，我們需要對路徑AB上的每一點進行積分：

其中涉及到了散射係數β(λ)、相位函數P(θ)、光學距離D(PA)等。

## 小結

至此，我們完成了單級散射模型的簡單推導。但實際情況要複雜得多，在到達人眼之前，光線已經在大氣里被散射了無數次，而更高一級的散射總是可以靠它前一級的散射來定義，即是一個遞歸定義：

上式的含義是，在A點、從觀察方向v、光線入射方向s貢獻的第i+1級散射（左側）等於，對觀察路徑AB上的每一點P的貢獻度進行積分：

1. 在P點處發生最後一次散射，把光線從積分方向v散射到觀察方向v上（β(v,v)），然後經過T(PA)衰減後到達A點
2. 在最後一次散射前，對之前發生在P點、從方向v、光線入射方向s貢獻的第i級散射做球面積分，表示從各個方向v貢獻的第i級散射

回顧我們之前對單級散射的推導過程，其實就是i=0的情況。對於第0級散射來說，由於v不等於s的方向來說，第0級散射都為0，所以我們省略了公式里做球面積分部分。而在A點、從觀察方向v、光線入射方向s最後的光照結果應該是把所有級的散射都加起來：

如果是離線渲染，理論上我們可以求得上述公式的精確解。但對於實時渲染來說，第0級和第1級散射都是可以較為快速的求得精確解的，而更高級的散射要計算起來就非常划不來了。在早期的大氣渲染資料（例如GPU Gems 2）里，都是對第0級和第1級散射的求解和渲染。直到2008 Precomputed Atmospheric Scattering的提出，我們也可以實時計算更高級別散射的近似解了。

# 大氣渲染模型

具體應用到遊戲渲染里，我們一般會把大氣渲染分為兩個部分：一是天空背景的渲染，即skybox，二是大氣透視的渲染，也是我們俗稱的大氣霧效。在渲染的時候需要考慮光線入射方向s上的遮擋（陰影），通常使用傳統的shadow map就可以了。這樣我們就可以得到god ray效果。

## 天空背景

我們之前推導的公式可以直接拿來渲染天空盒，這裡就不重複了。多說一句，第0級散射可以理解成對「sun disk」的渲染。

## 大氣透視

大氣透視（aerial perspective）是渲染場景里物體距離攝像機遠近的很重要的效果，也是所謂的霧效。與渲染天空盒略微不同的是，我們還需要考慮反射地表顏色等。

依然是考慮在A點、沿著觀察路徑AB接收到的光照。這部分光照可以分為兩個部分：一是B點反射的地表顏色Rb經過路徑AB衰減後的光照，也就是第0級反射，二是路徑AB上由於散射貢獻的光照：

Textinction就是我們之前推導的T(AB)，Iinscattter則是之前推導的多級散射模型。

## 優化

核心是使用LUT，例如可以T(AB)存到一張2D紋理里。

## 例子：簡化模型

大部分遊戲的視角只會在地表附近，因此可以使用簡化模型來渲染大氣霧效。簡化模型有兩個最明顯的特徵：

• 使用直線距離d直接代替光學距離D(AB)
• 基於上一點，我們可以使用恆定的散射係數β

（1）Unity的Exponential Fog

最簡單的例子應該就是Unity的Exponential Fog（https://docs.unity3d.com/Manual/GlobalIllumination.html）了，公式表示就是：

其中的exp部分就是Textinction，即使用恆定的散射係數的簡化模型。但後面計算Iinscattter的部分其實是不準確的，可以說是「不怎麼基於物理」。

（2）The Blacksmith中的大氣散射

Unity的The Blacksmith給出了大氣散射部分的代碼（https://blogs.unity3d.com/cn/2015/05/28/atmospheric-scattering-in-the-blacksmith/，https://assetstore.unity.com/packages/essentials/the-blacksmith-atmospheric-scattering-39939）。這部分以後再補吧。

# 參考資料

推薦閱讀順序即為排序順序：

• 入門（理解渲染方程）
• Atmospheric Scattering系列教程：https://www.alanzucconi.com/2017/10/10/atmospheric-scattering-1/，詳細解釋了基本原理和原始的「暴力解法」
• 2003 Modeling Skylight and Aerial Perspective：http://mathinfo.univ-reims.fr/IMG/pdf/PreethamSig2003CourseNotes.pdf，主要是用來理解大氣渲染方程的
• 2002 Rendering Outdoor Light Scattering in Real Time：http://developer.amd.com/wordpress/media/2012/10/ATI-LightScattering.pdf，http://developer.amd.com/wordpress/media/2012/10/ATI-LightScattering.pdf，加上之前的兩篇，這三篇看完對渲染方程應該就可以有比較深刻的理解了，可以自己手推
• 進階（實現渲染方程）
• GPU Gems 2：https://developer.nvidia.com/gpugems/GPUGems2/gpugems2_chapter16.html，經典文章，求解single scattering，雖然文章給出的代碼是比較原始的「暴力解法」，但後面給出了關鍵的優化思想，就是使用LUT
• 2008 Precomputed Atmospheric Scattering：https://hal.inria.fr/file/index/docid/288758/filename/article.pdf，https://ebruneton.github.io/precomputed_atmospheric_scattering/，除了single scattering還可以得到multiple scattering的近似解，性能也很好，目前是各大3A遊戲的標配，缺點是論文寫得太難懂，各種數學符號。好在作者給了源碼，在2017年的時候甚至優化了代碼，增加了可讀性和健壯性，良心作者
• 實際應用（GDC）

Unity有很多插件的實現都是基於2008年的Precomputed Atmospheric Scattering，例如uSky（https://www.assetstore.unity3d.com/#!/content/24830）、Azure（https://assetstore.unity.com/packages/tools/particles-effects/azure-sky-dynamic-skybox-36050）等，可以參考和優化。

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