數學分析筆記整理（一）

第四次打下這段文字了，心情不止一句mmp，吐槽下知乎，換了兩個電腦還是會出現草稿保存不成功的問題，這應該不是我的問題了吧。

好在還是按時完成了這個星期的內容。

OK，我們開始。

目錄

• 引語
• 開篇小菜
• 有序集
• 有界性
• 域

引語

其實對於我這樣的小白，要打出一份筆記是很有些挑戰的，高等代數甚至需要自己去構思整個體系的敘說過程，但是也有一個好處，那就是能夠很好的重構自己對這門學科的理解，事實上也正是如此。

之所以在已有高代筆記的壓力下仍然選擇做這個數分系列的筆記，一方面是想幫幫有需要的同學，因為作為一部數學分析教材，Rudin的這本《Principles Of Mathematical Analysis》確實有些難度。

所以我更願意將這個系列的筆記作為Rudin教材的一個緩衝劑，盡量讓一些初學者也能理解這本書的精髓，或是助那些想要有所提升卻基礎不太牢固的同學一臂之力。

當然了，能力有限，我也只能儘力地去做，說得不夠好的地方也歡迎大家拍磚。

另一方面呢，由於我之前學的數分也不太牢固，甚至說有些差，所以就想著通過這種形式逼著自己往前趕一趕，畢竟之後的復變實變微分方程都跟數分聯繫很大。

再不趁著這一學期把它弄紮實了，下一學期可能會很頭疼。

希望通過這個系列的筆記，讓我和大家都有所收穫有所提升吧。

也歡迎各位看官看到有趣的題目或是知識點分享到評論區或是直接私信分享給我，我會添加到文章中供大家一起欣賞。

總之大家一起加油吧！

開篇小菜

大多數教材在每個章節的開始都會有一個介紹，Rudin也不例外，但是除了單純的介紹外，他還給出了幾個有趣的東西，所以在這篇筆記里我也打算把它列出來給大家看看。

首先Prof給出了 是無理數的證明，雖然這個證明相當經典，但是大部分人大概在高中教材上已經看過了，所以我這裡就簡單羅列一下，已經知道的同學可以直接跳過此段。

proof：我們假設 是有理數，則存在兩個互素的正整數 ，使得 ，於是 。

故 能被2整除，於是 能被4整除。

又由 互素知 不同時為偶數，於是 為奇數，於是 不能被4整除，這與 矛盾。

因此 不是有理數。

根據這個方法我們可以構造出來很多個非有理數（實際上可以構造出無窮個，因為一個數如果不是有理數，那麼它的倍數仍然不是有理數）。

這樣看來，有理數貌似是稀疏的，至少有很多gap。

但是，下面的證明將會指出，有理數集實際上是」稠密的「。

為此，我們先來大概給出稠密性的概念（現在還不能嚴格給出）。

有序集合的稠密性是指:該集合中的任意兩個元素a和b之間總存在第三個元素c仍然在這個集合中。

在這裡我們可以簡單把它理解為任意兩個有理數之間還存在有理數。

這是顯然的，因為任取兩個有理數 和 ， 總是在他們之間且仍然為有理數。

這就證明了有理數集是稠密的。

實際上，如果繼續進行下去這個過程，我們就會知道任意兩個有理數之間其實是有無窮多個有理數的，這裡從直觀上體現了」稠密「的概念。

這是很奇怪的，一方面有理數集有空隙，另一方面有理數集又是稠密的，兩個大相徑庭的概念在這裡如此完美的結合在同一個集合上，這從側面體現出了數學的美，以後我們還會遇到很多類似的情形。

我們這裡再給大家補充兩個問題，是一個學長在交流群里分享的，據說是來自《普林斯頓數學指南》，正好我們提到有理數與無理數，就把它擺出來，權當一樂了。

Question 1：試找到兩個無理數 和 ，使得 都是有理數。

Question 2：試找到兩個無理數 和 ，使得 是有理數。

為了讓大家有充足的思考，我們這裡先不給出書上的答案與我們在那天的一些討論，大家如果有好的答案的話發到評論區分享給大家或者直接私信我。

我會把好的答案連同那天群里的一些討論一起放到另一篇文章分享給大家。

好了，Introduction部分的內容完畢，下面我們正式進入本章的正題。

有序集（Ordered Set）

在定義有序集之前，我們需要給出笛卡爾積與二元關係的概念作為鋪墊。

笛卡爾積(Cartesian product)

在數學中，兩個集合 和 的笛卡爾積，又稱直積，表示為 ，是其第一個對象是 的成員與第二個對象是 的一個成員的所有可能組成的有序對。

假設集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積 {(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。

二元關係（Binary Relation）

Def：設 是一個非空集合，我們把 的一個子集 叫做 上的一個二元關係。如果 ，就稱 和 有 關係，如果 ，就稱 和 沒有 關係。

其中， 和 有 關係記作 或 。

進一步地，我們來定義等價關係。

Def：如果集合 上的一個關係 滿足：

1. 反身性：
2. 對稱性：
3. 傳遞性：

那麼我們就稱 是集合 上的一個等價關係。

有了這兩個概念，我們現在來定義序的概念。

序（Order）

Def：設 是一個集合， 上的關係 如果滿足

1. 有且只有一個成立
2. 

那麼就稱 是集合 上的一個序。

如果集合 被定義了一個序 ，那麼我們就稱 是一個有序集（Ordered Set）

顯然，被定義了我們通常所說的「小於」的有理數集或是實數集都是有序集，並且也很容易看出，序實際上並不是一個等價關係，因為 並不成立。

有了序的概念，我們就可以引入有界性的概念了（因為只有有了大小比較才會有「界」的概念）

有界性（Boundedness）

Def：設 是有序集， ，如果 ，使得 ，那麼就稱集合 是有上界的，並稱 是 的一個上界。

在數學中，臨界的地方往往是我們很關注的，因為它經常會更準確地表達一些東西，所以我們下面對確界的引入與討論也就很自然了。

Def：設 是有序集， ，集合 有上界，如果 的一個上界 滿足 不是 的上界，那麼我們就稱 是 的上確界。

這裡的定義可能有些晦澀，其實它就是 是 「最小」上界的意思。

這裡也有一個推論。

Corollary：若 是 的上界，則 。

另外，有兩個很重要的定理這裡需要提一下，就是上確界的存在性與唯一性。

Theorem 1

存在性（確界原理）：設 是非空集合，若 有上界，則 必有上確界，若 有下界，則 必有下確界。

這個證明相對冗長一點，並且在這裡作用不大，所以我們先不給出它的證明，有興趣的同學可以翻閱華中師大版數學分析第7頁，上面有詳細的證明過程。

Theorem 2

唯一性：設 是非空集合，若 有上確界，則 的上確界唯一（下確界結論類似）。

我們簡單給出它的證明。

proof：假設 有兩個上確界 。

那麼，由上確界的定義知， ，於是 ，所以 的上確界唯一。

下面我們給出一個關於有界性的很重要的一個性質——最小上界性（least-upper-bound property）的概念。

Def：如果 是一個有序集，並滿足：

，只要 由上界，就有

那麼我們就稱有序集 具有最小上界性。

關於它這裡有一個很重要的性質。

Prop

設 是一個具有最小上界性的有序集， ，且 ， 有下界，並記 為 的所有下界組成的集合，則有 。

proof：因為這裡的結論實際上可以分為多個並且具有一定的連貫性，所以為我們將其分解開來證明。

Step 1：證明

因為 為 的所有下界組成的集合，所以 ，我們有 ，於是 是 的上界。

又因為 ，所以 有上界，由 具有最小上界性就可以得到 。

Step 2：證明 是 的一個下界。

假設 不是 的一個下界，就有 ，使得 ；又由 可以知道 是 的上界，這與 矛盾，於是 是 的一個下界。

Step 3：證明 是 的下確界。

這裡只要證明 不是 的下界，而要證明這個結論，只要證明 即可。

我們任取 ，如果 ，由於 是 的上界，所以 ，矛盾，於是 ，這就證明了結論。

於是 。

有關下界的概念與性質與以上完全類似，故不再贅述。

下面是域的概念。

域（Field）

Prof在這裡對域的概念給出得比較簡單粗暴，為了講得更清楚點，我們還是先來做一些鋪墊。

二元運算（Binary Operation）

Def：設 是一個集合，關於S的一個二元關係是從 到 的映射。

這裡的意思是，如果運算符號記為*，那麼這個二元運算從 映射到 ，也可以記為 ，其中 。

注意，由於這裡的*是一個 到 的映射，所以 ， 並且有且只有一個。

另外，二元運算只有定義到集合上才有意義，這點與二元關係類似。

我們平常所說的加法或者乘法就是實數集或者有理數集上的二元運算，沒錯，運算的本質就是映射，這樣想想，是不是對我們早已習以為常的加減乘除的認識更深刻了？

其實，集合與映射本身就是最本質的概念，如果細究起來，很多數學分支最後都能建立在這兩個概念之上。

你應該已經注意到了，這二元關係和二元運算都是很容易推廣到多元情況的，當然推廣的過程中也會產生很多新的有趣的問題，這裡我就不多說了，有興趣的同學可以自己搜一下。

好啦，廢話不多說，我們現在來給出域的概念。

Def：一個被定義了兩個二元運算 和 的集合 如果滿足：

1.對於加法：

• 結合律：
• 交換律：
• 含有單位元： ,使得 ,我們將這裡的 記作 ，稱為加法單位元
• 可逆： ,使得 ，我們將這裡的 記作 ，稱為 的加法逆

2.對於乘法：

• 結合律：
• 交換律：
• 含有單位元： ,使得 ,我們將這裡的 記作 ，稱為乘法單位元
• 可逆： ,使得 ，我們將這裡的 記作 ，稱為 的乘法逆

3.對於加法和乘法的結合（分配律）：

實際上域滿足很多性質，我們這裡只列出其中一部分相對簡單的。

Prop（這裡的 均屬於域 ）

(a)

(b)

(c)

(d)

這裡只給出(a)的證明，其餘的證明方法類似。

proof：

，於是 ，注意，這裡的每一步都不是廢話，都是依照域的定義或者題目條件得來的。

對於乘法，我們有類似的性質。

(e)

(f)

(g)

(h)

由於其證明方法與上述性質完全類似，所以這裡就不再贅述了。

下面是一些其他的性質：

(i)

proof：

(j)

proof：假設 。

因為 ，所以 ，使得 ，於是 ，這與域的定義矛盾，於是 。

(k)

(l)

最後兩個性質的證明作為練習留給大家。

Exercise

1. 給出下界的相關概念與相關性質的證明。
2. 證明筆記中域的部分未給出證明的性質。
3. 思考開篇小菜的兩個拓展性問題。

好了，這就是我們今天的全部內容了，總結一下，我們今天主要介紹了一些作為實複數系統這一章的基本概念與一些簡單的性質，並沒有太多的內容。

算是熱熱身吧，要知道，這可是大家公認的頗有些難度的教材，如果僅僅是這點思維量的話，那不就沒有意思了不是？

來都來了，總還是要做點有意思的事情。

儘管我會盡量地去加快些速度讓大家早日學完，但是還是要以講清楚了為準，所以這個數分系列不會像高代那樣講的快又准，而是會盡量全面的鋪陳下來，我已經做好了把它作為長期計劃的準備。

打下這篇筆記，雖然經歷了一些挫折，但好歹還是把它寫了出來，現在草稿保存系統又莫名其妙地好了，倒是搞得我都不敢相信了。

為了保險起見，以後會直接將要保存的稿子發布到文章里（但不會發布到專欄里），反正我這次是真怕了，寫好的文件連續丟了三次。

好了，也不瞎抱怨了，反正接下來的日子還得好好努力地將這份筆記碼下去，歡迎各位拍磚，點贊收藏感謝打賞都會是對我莫大的支持，碼字不易，小生在此鞠禮了。

最後，本人的任何都具有著作權，未經作者同意不得剽竊或轉載。