基礎群論(六): 幾種構造

05-12

這篇筆記主要介紹由舊群構造新群的幾種常見方法, 包括直積、半直積、正向極限和逆向極限.

直積

設 ${G_i:iin I}$ 是一族群, 則其Descartes積(Cartesian product)或無限制直積(unrestricted direct product)是如下定義的群: 群的元素集為Descartes積 $prod_{iin I}G_i$ , 群運算定義為 $(g_i)_{iin I}(h_i)_{iin I}:=(g_ih_i)_{iin I}$ . 這個群記作 $mathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i$ .

滿同態 $pi_j:mathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i o G_j, (g_i)_{iin I}mapsto g_j$ 稱為標準投影(canonical projection). 單同態 $iota_j:G_j omathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i,g_jmapsto(g_i)_{iin I}$ , 其中 $i eq j$ 時 $g_i:=1_{G_i}$ , 稱為標準單射(canonical injection).

若在上面的定義中, 限制群的元素集為所有 $(g_i)_{iin I}inprod_{iin I}G_i$ , 滿足僅有有限個 $iin I$ 使得 $g_i eq1_{G_i}$ , 則得到的群稱為 ${G_i:iin I}$ 的外直積(external direct product), 記作 $mathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i$ , 其中 $G_i$ 稱為直積因子(direct factor). 特別地, 當 $I={1,ldots,n}$ 時, 記 $G_1 imescdots imes G_n:=mathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i$ . 加法群的直積改稱直和(direct sum), 並記為 $igoplus_{iin I} G_i$ .

容易證明 $mathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_ilhdmathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i$ .

設 ${N_ilhd G:iin I}$ 是 $G$ 的一族正規子群, 滿足 $N_jcapleft<N_i:j eq iin I ight>=1$ 對任意 $jin I$ 成立, 則稱 $left<N_i:iin I ight>$ 為 ${N_ilhd G:iin I}$ 的內直積(internal direct product), 暫記作 $mathop{large{ ext{Dr}}^{ ext{(i)}}}_{iin I}N_i$ .

設 $jin I$ . 顯然 $G_jcong G_j^{iota_j}$ , 故我們可以將直積因子看作直積的子群. 易證 $G_j^{iota_j}lhdmathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i$ . 這些都表明內、外直積有緊密的聯繫. 下面的命題指出, 它們本質上沒有區別:

命題
(i) 設 ${G_i:iin I}$ 是一族群, 則 $mathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i=mathop{large{ ext{Dr}}^{ ext{(i)}}}_{iin I}G_i^{iota_i}$ .
(ii) 設 ${G_ilhd G:iin I}$ 是 $G$ 的一族正規子群, 則 $mathop{large{ ext{Dr}}^{ ext{(i)}}}_{iin I}G_icongmathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i$ .

因此我們將內、外直積統稱為直積, 都記為 $mathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i$ .

我們給出如下的刻畫:

命題設 ${N_ilhd G:iin I}$ 是 $G$ 的一族正規子群, 則 $Gcongmathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}N_i$ 當且僅當:
(i) 對任意 $j,kin I$ , $j eq k$ , $N_j$ 的元素與 $N_k$ 的元素可交換, 即 $N_jleqmathbf{C}_G(N_k)$ 或 $[N_j,N_k]=1$ .
(ii) 任意 $gin G$ 可唯一地表示為互異的 $N_i$ 中的元素的乘積.

一個推論是:

習題設 $H,Klhd G$ , $Hcap K=1$ , 則 $[H,K]=1$ .

另一個常用的結論是:

命題設對任意 $iin I$ , $N_ilhd G_i$ , 則
(i) $mathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i/mathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}N_icongmathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i/N_i$ .
(ii) $mathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i/mathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}N_icongmathop{large{ ext{Dr}}}limits_{iin I}G_i/N_i$ .

直積也有一些不好的性質. 例如 $1 eq Nleq H imes K$ 時也可能 $Ncap H=Ncap K=1$ , 導致 $N eq(Ncap H)(Ncap K)$ . 我們有

習題設 $Nlhd H imes K$ . 證明: 或者 $N$ 是Abel群, 或者 $Ncap H,Ncap K$ 中至少有一個非平凡.

設 $N_1lhd G_1$ , $N_2lhd G_2$ . 考慮三個條件: (a) $G_1cong G_2$ ; (b) $N_1cong N_2$ ; (c) $G_1/N_1cong G_2/N_2$ . 它們中的任意兩個都不能推出第三個. 而當 $G_1 imes G_2cong G_3 imes G_4$ 時, 也不能保證這些直積因子對應同構. 這些反例都是容易找到的. 前者涉及的是群擴張問題, 後者則會在Krull–Schmidt定理中給出一個回答.

最後我們用泛性質刻畫直積:

命題
(i) Descartes積是群範疇 $mathsf{Grp}$ 的積: 設 ${G_i:iin I}$ 與 $H$ 是群, ${varphi_iinoperatorname{Hom}(H,G_i):iin I}$ 是一族同態, 則存在唯一同態 $varphi:H omathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i$ , 使得對任意 $iin I$ , 都有 $varphipi_i=varphi_i$ . 這個性質在同構意義下唯一確定 $mathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i$ .
(ii) 直和是Abel群範疇 $mathsf{Ab}$ 的余積: 設 ${A_i:iin I}$ 與 $B$ 是Abel群, ${psi_iinoperatorname{Hom}(A_i,B):iin I}$ 是一族同態, 則存在唯一同態 $psi:igoplus_{iin I}A_i o B$ , 使得對任意 $iin I$ , 都有 $iota_ipsi=psi_i$ . 這個性質在同構意義下唯一確定 $igoplus_{iin I}A_i$ .

上述(ii)對非Abel群不成立. $mathsf{Grp}$ 的余積是自由積(free product), 將在後面介紹.

半直積

設 $Nlhd G$ , $Hleq G$ 滿足 $NH=G$ 且 $Ncap H=1$ , 即 $G=N times H$ , 則稱 $G$ 為 $H$ 與 $N$ 的內半直積(internal semidirect product), 記作 $N times H$ . 顯然 $Hlhd G$ 時 $N times H=N imes H$ .

給定群 $N,H$ 與同態 $alpha:H ooperatorname{Aut}N$ , 在集合的Descartes積 $H imes N$ 上定義群運算為 $(h_1,n_1)(h_2,n_2):=(h_1h_2,n_1^{h_2^alpha}n_2)$ . 得到的群稱為 $H$ 與 $N$ 關於 $alpha$ 的外半直積(external semidirect product), 記作 $N times_alpha H$ . 定義單同態 $iota_H:H o N times_alpha H,hmapsto(h,1_N)$ 與 $iota_N:N o N times_alpha H,nmapsto(1_H,n)$ .

同態 $alpha:H ooperatorname{Aut}N$ 從何而來? 下面的命題給出了解釋:

命題
(i) 設 $N,H$ 是群, $alpha:H ooperatorname{Aut}N$ 是同態, 則 $N times_alpha H=N^{iota_N} times H^{iota_H}$ .
(ii) 設 $G=N times H$ . 令 $alpha:h ogamma_h|N$ , 其中 $gamma_h:G o G,gmapsto g^h$ 為 $h$ 誘導的共軛, 則 $N times Hcong N times_{alpha}H$ .

因此我們也不再區分內、外半直積, 統稱為半直積.

用半直積構造群十分方便. 例如, 設 $mathbb{Z}_n=left<a ight>$ , $mathbb{Z}_2=left<b ight>$ , 定義 $alpha:bmapsto(amapsto a^{-1})$ , 則 $mathbb{Z}_n times_alphamathbb{Z}_2cong D_{2n}$ . 半直積也是研究群的強大工具, 以後會看到它的許多應用.

正向極限與逆向極限

設 $I$ 是偏序關係 $leq$ 下的有向集合(directed set), 即對任意 $i,jin I$ 都存在 $kin I$ 使得 $i,jleq k$ . 設 ${G_i:iin I}$ 是一族群, ${ ho_i^{j}inoperatorname{Hom}(G_i,G_j):ileq jin I}$ 是一族同態, 滿足: (i) 對任意 $iin I$ , $ho_i^i=1_{G_i}$ 是 $G_i$ 上的恆等映射; (ii) 對任意 $ileq jleq k$ , $ho_i^j ho_j^k= ho_i^k$ . 則稱 ${G_i, ho_i^j:ileq jin I}$ 為群的正向系統(direct system)或歸納系統(inductive system).

記 $U=igsqcup_{iin I} G_i$ . 定義 $U$ 上的等價關係 $sim$ 如下: $g_isim g_j$ , 其中 $g_iin G_i$ , $g_jin G_j$ , 當且僅當存在 $i,jleq k$ 使得 $g_i^{ ho_i^k}=g_j^{ ho_j^k}$ . 記 $[g_i]$ 為 $g_i$ 在 $sim$ 下的等價類. 在 $U/sim$ 上定義群運算為 $[g_i][g_j]:=[g_i^{ ho_i^k}g_j^{ ho_j^k}]$ , 其中 $g_iin G_i$ , $g_jin G_j$ , $i,jleq k$ . 這樣得到的群稱為有向系統 ${G_i, ho_i^j:ileq jin I}$ 的正向極限(direct limit)或歸納極限(inductive limit), 記作 $varinjlim_{iin I}G_i$ . 對任意 $jin I$ , 定義同態 $ho_j:G_j ovarinjlim G_i,g_jmapsto[g_j]$ .

命題符號同上.
(i) $varinjlim G_i=igcup_{iin I}G_i^{ ho_i}$ .
(ii) $ileq j$ 時, $G_i^{ ho_i}leq G_j^{ ho_j}$ .

(iii) 若 ${ ho_i^{j}:ileq jin I}$ 均為單同態, 則 ${ ho_i:iin I}$ 均為單同態, 且 $G_icong G_i^{ ho_i}$ .
(iv) (泛性質) 設 $H$ 是群, ${varphi_iinoperatorname{Hom}(G_i,H):iin I}$ 是一族同態, 滿足對任意 $ileq j$ , 有 $ho_i^jvarphi_j=varphi_i$ , 則存在唯一同態 $varphi:varinjlim G_i o H$ , 使得對任意 $iin I$ , 都有 $ho_ivarphi=varphi_i$ . 這個性質在同構意義下唯一確定 $varinjlim G_i$ .

例: 設 $p$ 是素數, $I=mathbb{N}$ , $G_i=left<x_i ight>$ 為 $p^i$ 階循環群. 令 $ho_i^{j}:x_imapsto x_j^{p^{j-i}}$ . 此時得到的 $varinjlim G_i$ 稱為Prüfer $p$ -群(Prüfer $p$ -group), 記作 $mathbb{Z}_{p^{infty}}$ . 事實上, 它與圓群 $mathbb{T}:={zinmathbb{C}:|z|=1}$ 的Sylow $p$ -子群同構. 這個群在Abel群理論中有重要意義.

逆向極限是正向極限的對偶概念.

設 $I$ 是 $leq$ 下的偏序集, ${G_i:iin I}$ 是一族群, ${mu_j^iinoperatorname{Hom}(G_j,G_i):ileq jin I}$ 是一族同態, 滿足: (i) 對任意 $iin I$ , $mu_i^i=1_{G_i}$ 是 $G_i$ 上的恆等映射; (ii) 對任意 $ileq jleq k$ , $mu_k^jmu_j^i=mu_k^i$ . 則稱 ${G_i,mu_j^i:ileq jin I}$ 為群的逆向系統(inverse system)或射影系統(projective system).

集合 ${(g_i)_{iin I}inmathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i:jleq kin IRightarrow g_k^{mu_k^j}=g_j}$ 是 $mathop{large{ ext{Cr}}}limits_{iin I}G_i$ 的子群, 稱為逆向系統 ${G_i,mu_j^i:ileq jin I}$ 的逆向極限(inverse limit)或射影極限(projective limit), 記作 $varprojlim_{iin I}G_i$ . 對任意 $jin I$ , 定義同態 $mu_j:varprojlim G_i o G_j,(g_i)_{iin I}mapsto g_j$ , 即 $mu_j=pi_jigg|varprojlim G_i$ , 其中 $pi_j$ 是標準投影.

命題符號同上.
(i) 若 ${mu_j^i:ileq jin I}$ 均為滿同態, 則 ${mu_i:iin I}$ 均為滿同態.
(ii) (泛性質) 設 $H$ 是群, ${psi_iinoperatorname{Hom}(H,G_i):iin I}$ 是一族同態, 滿足對任意 $ileq j$ , 有 $psi_jmu_j^i=psi_i$ , 則存在唯一同態 $psi:H ovarprojlim G_i$ , 使得對任意 $iin I$ , 都有 $psimu_i=psi_i$ . 這個性質在同構意義下唯一確定 $varprojlim G_i$ .

例: 設 $p$ 是素數, $I=mathbb{N}$ , $G_i=mathbb{Z}_{p^i}$ . 令 $mu_j^i:x ext{ (mod }p^j)mapsto x ext{ (mod }p^i)$ . 此時得到的 $varprojlim G_i$ 中的元素稱為 $p$ 進整數( $p$ -adic integer). (這事實上構成了 $p$ 進整數環(ring of $p$ -adic integers).)

備註

不是很懂直積與直和的術語。一些地方把限制僅有有限個坐標不是單位元的直積稱為直和，但Abel群的直積也稱為直和，這樣會混亂吧……我這裡採用的是GTM 80的術語（和記號），把無限制的直積稱為Descartes積，有限制的直接稱為直積。比如GTM 73的術語是把無限制的直積稱為完全直積(complete direct product)，把有限制的稱為弱直積(weak direct product)。

還沒有學範疇論，以後在範疇的觀點下看這些構造應該會有新的認識。現在學的就當作一些實例吧。交換圖都沒有畫，因為不知道如何在知乎的LaTeX環境下畫交換圖……