拋棄行列式的線性代數 1.3 向量空間的性質

向量空間的定義要求向量空間具有加法單位元。下面的命題說明這個單位元是唯一的。

1.2 命題：向量空間有唯一的加法單位元。

證明：設 和 都是向量空間 的加法單位元，則

其中第一個等式成立是因為 是加法單位元，第二個等式成立是因為 是加法單位元，因此 ，這就證明了 中只有一個加法單位元。

向量空間的每個元素 都有加法逆，即向量空間中使得 的元素 。下一個命題表明向量空間中的每個元素都只有一個加法逆。

1.3 命題：向量空間中的每個元素都有唯一的加法逆。

證明：設 是向量空間， ，並且 和 都是 的加法逆，那麼

因此 。由於加法逆是唯一的，因此可以令 表示向量 的加法逆。定義 為 。

1.4 命題：對每個 都有 。

證明：對 ，有

在上面等式的兩端都加上 的加法逆，可得 。

1.5 命題：對每個 都有 。

證明：對 ，有

在上面等式的兩端都加上 的加法逆，可得 。

現在我們來證明，若將 中元素與標量 相乘，則得到這個元素的加法逆。

1.6 命題：對每個 都有

證明：對 ，有

這個等式說明， 與 相加得 。因此 必為 的加法逆。