關於外測度

05-12

最近差不多都是忙一些作業和月末小考試這樣無聊的事，沒什麼時間寫專欄（不過也沒有人看

btw，最近和人討論了如何通過基於測度論的概率論這個主題在知乎開live，完成知識變現的問題。知識變現的第一步大概是開機器學習的live並反覆使用測度論吧，不過我相信面對這些繁瑣的理論，人們更願意相信機器學慣用不到那麼多數學，不像人們對於終身受益的閱讀操作系統的態度——一個Folk Psychology，終身受益的閱讀操作系統以及一系列認知心理學科普理論自我提高上當然比繁瑣的數學有用的多。

明天就要考實變函數，就整理一下外測度這個考點。其實我也不想只寫實變函數的，大概以後會有機器學習之類的文章（不過也沒有人看

根據花姐在豆瓣上的某個帖子，說外測度這樣古典的方法現在已經沒什麼人用了，不過培養方案里連古典微分幾何都有，外測度也不算特別過時的了吧、

教材是周性偉那本實變函數，是直接在R上開始構造，不過這樣做觀點太低了，這裡不這樣做。

σ代數

σ是可列並的意思，可能這個用法是來自Baire category theorem。因此你可以猜測也有一個代數的概念（實際上，是布爾代數）：

若X的冪集的一個子集A關於有限並運算、取差運算封閉，我們就稱A是X上的一個環（Boolean ring），若A包含X，A就是一個代數。帶前綴σ當然就是說可列並也封閉。

還有兩個在本文中不佔中心地位的定義：

若A關於單調集列的極限運算封閉，則稱A是X上的一個單調類。

若A關於有限交封閉，E-F是A中的不交有限並，則稱A是X上的一個基本類。

環+單調類就有σ環，只要把一列集合變成不交的的另一列集合，保持並起來的結果不變就行了。同時，很明顯，基本類中的不交有限並是一個環。

定義完代數，就可以開始考慮生成元，設生成元為集族A。實際上我們關心σ代數和單調類的關係，A生成的單調類當然要比σ代數小。

那麼什麼時候兩者相等呢？就有Monotone class theorem：A是一個代數的時候就相等。證明的關鍵在於，單調類要包含σ代數，當且僅當，單調類對有限並和取補封閉。對於代數A，你大概可以說A生成單調類就類似於給點集取閉包，剩下的工作就是對多出來的極限點驗證一下代數里的運算了，就像我們對數列極限做的事情一樣。實際上函數的單調類定理更有用，具體參見wiki的Monotone class theorem詞條，它提供了一個抽象表示全部有界可測函數的方法。

乘積σ代數是把$pi_alpha ^ {-1}(E_alpha )$當生成元生成的σ代數，類似積拓撲。於是你自然會問乘積σ代數什麼情況下具有$prod _alpha E_alpha $這樣類似箱拓撲的形式。指標集至多可數時是可以的，可分度量空間也可以。大概知道這兩個就夠用了。

測度

測度的抽象定義不必多說，關鍵是完備性，也就是說零測集子集都可測。為了得到完備性，如果你不得不提前想好一個漂亮的測度（同時，一個好的可測空間）定義自帶完備性，那麼這個工作就困難了。不過也可以選擇以下方式的一種：

a.首先在全空間（X的冪集）定義外測度，再縮小定義範圍做完備化

b.直接對測度空間做完備化。

這裡採用a。如果$mu : 2^X
ightarrow [0,1]$ 滿足Countable subadditivity，Monotonicity，Null empty set，就是一個outer measure。由Carathéodory定理，直接保證完備性，具體的證明每本教材上至少都講了R^n，一般來說也差不多。Borel集是否在可測空間中取決於外測度的取法，R^n上也就是取體積元素。正規性則主要來自於一些空間的拓撲性質，見Big Rudin Theorem 2.17, 2.18。單調類的問題還要再討論，因為這裡不是用一個代數張出的空間，對於測度來說取單增集合的極限可以直接轉換到可數可加性上面去，對於外測度這個單調類的性質其實也對，關鍵是用可測集逼近，最後還能推廣到指標集是一個開區間時的極限交換情況，思路都差不多。最後，一個子集都可測的集合一定是一個零測集，這個結論實際上是逆否命題加上一個不可測集的構造做出來的，也就是那個區間商掉有理數的例子。

值得說說的是一些習題，外測度的題目都挺煩人的，而且感覺也沒什麼用，只能說為了應付考試做這些。以下在R上討論。

$Esubset mathbb{R}$，E可測並具有正測度，$0< alpha < 1$，則有開區間I使得$m(Icap E)>alpha m(I)$

這個結論只要反證就行。通過這個結論可以在技術上實現一些積少成多的事情，比如：

設E可測並具有正測度，則一個有界閉區間可以通過E的有限次平移來逼近。

你可以看出一邊平移一邊減掉$E_k$的時候你實際上是在把有界閉區間上的小開區間挖掉固定比值的部分，然後就可以用之前的結論選一個合適的$0< alpha < 1$了。

用開集或者閉集逼近也是常用的手段，不過這太平凡了，一般就是不等式兩邊求和然後把求和號放進測度里變成並集之類的。