開普勒問題的對稱性

05-12

本文是對如何理解開普勒問題（以及氫原子問題）中的LRL矢量和角動量構成SO(4)的生成元？ - 鍾德亮的回答問題中我的回答的拓展。

再次感謝@Octolet 的邀請。

封面圖片引用於wiki。Laplace-Runge-Lenz vector

內容中圖片引用自Bander, M; Itzykson C (1966). "Group Theory and the Hydrogen Atom (I)". Reviews of Modern Physics38: 330–345.

本文參照上述文獻，有修改和簡化。

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1. 開普勒問題的定義及守恆量

2. Fock的整體方法： $mathfrak{so}(4)$ 的物理意義

3. 推廣到非束縛態

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1. 開普勒問題的定義及守恆量

這一部分的結果是熟知的。

一個有心運動稱為開普勒運動，如果勢能滿足 $V(r) = - k/r$ 。 $k$ 為常數。

在本問題中，除去能量和角動量守恆以外，我們還有一個新的守恆量：Laplace-Runge-Lenz矢量。其定義參見題目。如果定義歸一化的生成元 $ilde{M} = (frac{-m}{2E})$ ，其中 $m$ 為約化質量， $E$ 為能量。我們可以定義線性組合 $A = frac{L + ilde{M}}{2}, B = frac{L - ilde{M}}{2}$ 。很容易驗證 $A,B$ 都滿足 $mathfrak{so}(3)$ 對易關係並且相互對易。因此，系統的總的對稱性為 $mathfrak{so}(3) imes mathfrak{so}(3)$ 。由於熟知的關係 $mathfrak{so}(4) simeq mathfrak{so}(3) imes mathfrak{so}(3)$ ( $mathfrak{so}(3) simeq mathfrak{su}(2)$ )，那麼我們很容易猜想系統的對稱群就是 $SO(4)$ 。

那麼這樣做有什麼問題呢？因為在坐標空間中 $M$ 是一個二階微分運算元，因此和通常的生成元的定義有些不同。而且代數上來看有很多同構的選擇。所以Fock[1935]提出了一個整體的方法。

2. Fock的整體方法： $SO(4)$ 的物理意義

這一部分介紹Fock的方法。我們可以看到 $SO(4)$ 對稱性的出現並非只是簡單的數學偶然，其背後有著更加物理的構造。

對薛定諤方程做傅里葉變換，有：

$(frac{p^2}{2m} - E) Phi(p) = frac{k}{2pi^2 hbar} int d^3 q frac{Phi(q)}{|mathbf{p} -mathbf{q}|^2}$

這個方程看上去沒有什麼特別之處。因為一眼能夠看出的對稱性只有旋轉 $mathbf{q}$ ，因此無非對稱性還是 $SO(3)$ 。

但是，如果你非常敏銳的話，你會馬上發現(一般來說不是這樣的)，看似平凡普通的 $frac{1}{|mathbf{p} -mathbf{q}|^2}$ 一項，其實就是從 $mathbb{R}^4$ 中單位球 $S^3$ 上進行球極投影的Jacobian !!! 因此這告訴我們應該使用球極投影來處理這個問題。實際上這樣操作的話，我們就能夠比較容易的看出 $SO(4)$ 的來歷了。