流動線性穩定性方程推導那點事兒（三）

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4.4 關於平行性假設

這裡還討論一下平行性假設的問題。上面我們提到，當擾動的尺度遠小於基本流尺度的時候，可以將擾動假設為波動解的形式。這裡實際上隱含了另外一層含義，有必要在這裡繼續解釋清楚。

我們先考慮一個最一般的情況，還是用常微分方程的例子來說明。當基本流在某方向是變化的時候，可以簡化為這樣的一個變係數常微分方程：

$u^{primeprime}+omega^{2} (t) u=0 ag{29}$

這裡 $omega(t)$ 是一個與時間有關的參數係數。對於這個方程來說無法簡單的給出一個解析解。但是，當解的變化尺度遠小於係數 $omega(t)$ 的變化尺度時，顯然這裡可以將假設係數不隨時間發生變化，即將係數再給定時間 $t_0$ 凍結，這樣方程就可以簡化成一個常係數微分方程：

$u^{primeprime}+omega^{2} (t_0) u=0 ag{30}$

這時，方程就在 $t_0$ 時刻為( ${19}$ )的形式。而方程的解也就自然可以在時間方向寫成波動的形式了。在這個過程中，在時刻 $t_0$ 來看，係數 $omega(t)$ 就是完全不變的。類似的，如果換到流體流動中，一般的，基本流動隨空間會發生變化。那麼這時，對應的擾動控制方程的係數實際上也是隨時間變化的。而平行性假設，也就如上面的常微分方程的例子一樣，保證了解可以寫成波動解的形式。在這個過程中，也就意味著在局部空間位置，基本流作為流動穩定性這一動力系統的係數矩陣來看，是被凍結的，即在局部是不隨空間變化的。這也就是平行性假設的另外一層含義——在某一個空間位置，基本流動是不變的，即在這個簡化方向上是平行的。

有了平行性假設，在求解一個場的線性穩定性特徵的時候，就可以在基本流中找到一個變化緩慢的方向，然後將這個方向上給定的一個位置的基本流凍結起來。然後沿這個方向依次求解每個當地位置的線性穩定性問題了。例如對邊界層問題，就可以在流向方向引入平行性假設，這時局部某一流向位置的線性穩定性特徵可以通過假設在該位置所有基本流動的流向梯度為零來求解出局部的擾動色散關係，進而獲得邊界層全場的擾動特徵。顯然，線性穩定性是一種簡化，但是當流場相對失穩擾動確實變化很慢的時候，它的偏差是很小的。因此，平行性假設是一種廣泛在流動穩定性中使用的基本假設之一。

當然，對於流體的動力學穩定性問題，研究對象是一個場，平行性假設雖然大多數時候都是一種高效並且可行的方法，但是畢竟在有時是有局限的，會引入加大的誤差。而在這個時候，就需要重新引入新的假設構造偏微分方程中的動力學穩定性分析模型了。這就是後話了，我們以後再來講這個問題。

4.5 線性穩定性方程解的物理含義

在討論清楚線性穩定性方程解的形式之後，就可以來討論解的物理含義了。

在線性穩定性方程的解的形式( ${28}$ )中，上面的推導並沒有約定波數 $alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n$ 是實數。因此，一般的它們都是複數。那麼當它們為複數時，又表示了什麼含義呢？

我們為了簡單說明問題，還是選用一個最為簡單的波動解的形式來說明問題。這個波動解只有時間和流向方向，於是它可以寫成：

$u^prime=hat u{ m{e}}^{i(omega t-alpha x)} ag{31}$

以下我們分情況來討論這個解的物理含義。

4.5.1 $omega$ 是複數， $alpha$ 是實數

當 $alpha$ 是實數時，實際上相當於給定了解在空間中的基本信息。此時，其空間信息可以寫成：

$ilde u(x)=hat u { m{e}}^{i(alpha_r x)}=hat u { m{e}}^{i(alpha x)} ag{32}$

顯然由於 $alpha$ 是實數，於是 $ilde u(x)$ 在空間中是等幅值的。即如下圖：

那麼解的時間部分是什麼呢？由於 $omega$ 是複數，因此結合上面對空間信息的描述，我們可以將解寫成如下形式：

$u^prime(x, t)= ilde u(x){ m{e}}^{-iomega t}= ilde u(x){ m{e}}^{iomega_i t}{ m{e}}^{-iomega_r t} ag{33}$

從上式不難看出，當 $omega$ 為複數時，它的實部反映了擾動相位隨時間的變化速率，它與流向波數 $alpha$ 一起構成了擾動演化的相速度 $c=omega_r/alpha$ ；而 $omega$ 的虛部則反映了擾動隨時間的幅值放大率。這裡給出一個動畫，可以很直觀的看到擾動隨時間和空間的演化情況。

那麼這個擾動對應於這樣一個物理過程：空間上周期分布的擾動隨時間相位和幅值的變化過程。顯然，這裡的空間周期與擾動波長有關，是已知條件，對應於( ${31}$ )式中的 $alpha$ ；而擾動相位和幅值隨時間的變化過程受 $omega$ 約束。其中 $omega$ 的實部決定了相位隨時間的變化，虛部決定了幅值隨時間的變化。在流動穩定性問題中，我們稱之為時間模式。不難看到，時間模式的擾動是否失穩與 $omega$ 的虛部有關。顯然，當 $omega_i lt 0$ 時，擾動是穩定的；當 $omega_i gt 0$ 時，擾動是不穩定的或衰減的；而當 $omega_i = 0$ 時，擾動幅值隨時間不增不減，稱之為中性的。

以上即為時間模式的情況。

4.5.2 $omega$ 是實數， $alpha$ 是複數

在明白了時間模式後，就不難理解 $omega$ 是實數， $alpha$ 是複數時的情況。此時， $omega$ 是已知量，而 $alpha$ 是未知量。此時，擾動可以寫成如下形式：

$u^prime(x, t)=hat u{ m{e}}^{-iomega t}{ m{e}}^{ialpha x}=hat u{ m{e}}^{iomega t}{ m{e}}^{ialpha_r t}{ m{e}}^{-alpha_i t} ag{34}$

當 $t=0$ 時，擾動的初始分布為如下圖：

由於 $alpha$ 是複數，因此與時間模式類似， $alpha$ 的虛部決定了擾動幅值隨空間是放大還是縮小的。不難得到，當 $alpha_ilt0$ 時，擾動向下游發展中幅值逐漸增大，稱之為擾動是增長的；當 $alpha_igt0$ 時，擾動向下游發展中幅值逐漸減小，稱之為擾動是衰減的；當 $alpha_i=0$ 時，擾動向下游發展中幅值不變，稱之為擾動是中性的。而 $omega$ 此時決定了擾動相位隨時間的變化。與時間模式對應，這種情況下的擾動稱之為空間模式。下面這個動畫給出了一個典型的空間模式失穩擾動的隨時間的演化過程。

從動圖中不難看出，空間模式的擾動相位不斷發生改變。相速度依然為 $c=omega/alpha_r$ 。但是，擾動的幅值分布實際上並隨時間不發生變化，只是在空間上向下游增長或者衰減。

4.5.3 對時間模式和空間模式的認識

以上給出了最簡單的情況時的說明。對於一般的邊界層的情況，即類似於( ${15}$ )的擾動的形式，也是幾乎完全一樣的。這裡不再贅述。

不難看到，時間模式和空間模式描述了小擾動的演化特徵，具有相同的相速度表達式，但它們也有明顯的區別。對於時間模式，其實是與常微分問題的動力系統非常類似的，即描述了擾動的空間模態隨時間的演化規律。從這一點上來看，雖然線性穩定性理論將擾動的表達形式局部化了，但是其失穩特徵依然具有整體性，即在不同的流向位置擾動具有相同的動力學特徵。與此相對的，空間模式描述的失穩特性其實是具有局部性的。在給定的擾動頻率下，擾動從上游傳播到下游，其增長率實際上對應的是每個局部站位 $x$ 的幅值放大率。看到這裡，就不難看到前面單獨拿出來講的平行性假設的重要性。在基本流沿著流向是平行的（或者說不變的）的前提下，才能準確的使用增長率 $-alpha_i$ 去定義擾動波的增長率。換句話說，只有在基本流平行這個大前提下，線性穩定性理論給出的特徵值和特徵函數才能精確的表示特徵值和特徵函數的本義——不同的度量下去看擾動的空間增長率。然而，絕大多數流動，例如邊界層流動沿流向都是非平行的，只是沿流向變化比較慢。因此，平行性假設實際上保證了我們可以局部化線性穩定性問題，從而得到一個在局部平行條件下的近似解，這個解忽略掉了基本流沿流向的梯度。從線性穩定性方程推導來看，利用平行性假設確定了局部的特徵值以及特徵函數也意味著擾動的特徵函數沿流向的梯度也被忽略掉了。由此，對於一個一般的沿空間發展的剪切流的穩定性問題，我們可以在每個流向站位都求解一個引入了平行性假設的特徵值問題以獲得全場的擾動特徵。換句話說，也就是通過引入平行性假設把一個偏微分方程在局部常微分化了。但就如前面的討論的，這個特徵是有誤差的。也正是由於這樣的非平行特徵所引起的誤差，形函數的不同量可能沿流向的變化特徵並非完全一致。當然，這也是後話了。

顯然，如果我們的目標是為了研究射流或者剪切流的轉捩過程，空間模式更為適合。因為這些流動過程中擾動恰好是從上游逐漸發展到下游並且觸發轉捩的。在實驗中所能夠測量得到的，也是空間模式下擾動的演化。正是由於這樣的理由，在轉捩問題的研究中空間模式有其特別的地位。當然，這並非是說時間模式不重要。事實上在研究一些基本物理問題的情況下，如果基本流是平行的，顯然使用時間模式來進行研究更為簡單，也比較節省內存。畢竟，對於平行的流動，二者是可以通過Gaster變換相互轉換的。至於Gaster變換，我們以後再說。