SPC系列7：計數型控制圖中，控制限的計算公式是怎麼來的？

05-11

在AIAG的SPC手冊中，介紹了4種可以用於計數型數據的控制圖，這4種控制圖的控制限分別如下所示（假設子組容量n固定）：

p控制圖： $ar{p}pm3sqrt{frac{ar{p}(1-ar{p})}{n}}$ （公式1）

np控制圖： $nar{p}pm3sqrt{nar{p}(1-ar{p})}$ （公式2）

u控制圖： $ar{u}pm3sqrt{frac{ar{u}}{n}}$ （公式3）

c控制圖： $ar{c}pm3sqrt{ar{c}}$ （公式4）

需要注意的是上面的公式中， $ar{p}$ ， $nar{p}$ ， $ar{u}$ 和 $ar{c}$ 標準差是基於二項分布或泊松分布，而不是正態分布得到的，這個是計數型與計量型控制圖在計算標準差時的一個重要差別。這篇文章來解釋一下這個問題。

p和np控制圖的控制限

p和pn的標準差是基於二項分布得到的。要了解二項分布是怎麼回事，先來看一個例子：假設某個袋子里裝著100隻球，有30隻紅色，70隻黑色。現在從袋子裡面拿球出來，每次拿出來後需要把它放回去，那麼取20次的話，剛好取出5次紅球的概率是多少？這個概率可以由下面的公式計算：

$Pr=C_{20}^{5} imes (frac{30}{100})^{5} imes (frac{70}{100})^{15}$

其中 $(frac{30}{100})^{5}$ 是取到5次紅球的概率， $(frac{70}{100})^{15}$ 是取到15次黑球的概率，但因為這5個紅球和15個黑球的順序無關緊要，所以前面要乘以一個係數 $C_{20}^{5}$ ，它的值代表的是將5個紅球和15個黑球隨機排序的話可以有幾種排列方式。

由上面的這個例子可以推廣得到二項分布函數，即如果一次試驗只有成功或失敗兩種可能，已知每次試驗成功的概率為p，則進行n次試驗正好得到x次成功的概率將遵守二項分布：

$Pr=C_{n}^{x} imes p^{x} imes (1-p)^{n-x}$ （公式5）

在取球的例子中，所謂的試驗就是取球，成功是指拿到紅球，失敗為拿到黑球，p為每一次取球時拿到紅球的概率，而1-p為每一次取球時拿到黑球（或者沒拿到紅球）的概率。

產品的每次檢測也看作一次試驗，當它的結果只有合格/不合格兩種情況時，如果產品的不合格率是p，則每次檢測n個樣品，出現x個不合格產品的幾率也是符合以上的二項分布的。從公式5的二項分布函數可以推導出（此處省略推導過程），x的平均值將是 $np$ ，標準差將是 $sqrt{np(1-p)}$ （例如上面的取球的遊戲中，如果以取20次球為1回，重複很多回的話，每回取到的紅球的平均數將是20x0.3=6，而標準差將是 $sqrt{4.2}$ ）。由此可以得到np控制圖的控制限為 $nar{p}pm3sqrt{nar{p}(1-ar{p})}$ （註：因為總體的不合格率p未知，所以用樣本的平均不合格率 $ar{p}$ 代替p）。而p控制圖是監控的是每個子組的產品不合格概率 $p_{i}$ ，所以控制限為 $frac{nar{p}pm3sqrt{nar{p}(1-ar{p})}}{n}=ar{p}pm3frac{sqrt{ar{p}(1-ar{p})}}{sqrt{n}}$

u和c控制圖的控制限

在上面介紹的二項分布中，當n很大，而p很小時，公式5就可以變成（具體的推導過程就跳過了）

$Pr=frac{e^{-c}c^{x}}{x!}$ （公式6）

其中c=np。因為p很小，所以n遠遠大於c。以上這個分布稱為泊松分布。

在檢測產品合格/不合格的過程中，如果總體不合格率p很低，且每次抽樣的數量n足夠大，則每次抽樣中得到x個不合格品的概率服從泊松分布。從公式6的泊松分布函數可以推導出（此處省略推導過程），x的平均值將是c，而其標準差為 $sqrt{c}$ 。由此可以得到，c控制圖的控制限為 $ar{c}pm3sqrt{ar{c}}$ （註：因為總體的p或c未知，所以用樣本的平均不合格品數量代替c）。而u控制圖監控的是每個子組的不合格率 $u_{i}$ ，所以控制限是 $frac{ar{c}pm3sqrt{ar{c}}}{n}={ar{u}pm3sqrt{frac{ar{u}}{n}}}$ 。