分析和代數原理(1)

下述「數學的」論述都是建立在ZF公理和Peano公理之上的。同時，我們還承認一些邏輯方法，例如蘊含關係，充要條件，命題（聯言、選言、非命題），排中律等。一些定理的證明會被略去，一些步驟也會被省略，以便最快通向想要的結果。

映射

稱一些有序偶 的集合 是關係；有序偶即兩個元素 和 ，滿足 除非 ,它的嚴謹定義為 。可以簡記 為 ，並稱 是關係的定義域， 是關係的值域。

若一個關係 ，滿足(1) (2) (3) 則稱 是一個等價關係，並且可以記 為 ，同時稱 與 等價。把與元素 等價的所有元素的集合稱作 的等價類。

稱關係 是 上的偏序，若 ，(1) ，(2) ，(3) 。若偏序還滿足 ，則稱其為全序，並記為 。

若 ，則稱關係 是映射。此時可以把映射 記作 ，若它的定義域和值域分別為 和 ；同時可以記 ，並稱 為原像， 為原像集， 為像， 為像集；若僅給出了原像和像，則可以用 來表示映射 。

稱映射 是滿射，若 。稱映射 是單射，若 。稱映射 是雙射，若映射 同時是滿射和雙射。若映射 滿足 ，則稱 是恆等映射，可記 。

若 ，則稱按 定義的映射 是 與 的複合映射。

稱映射 與 互為逆映射，當且僅當 且 。

命題 一個映射有逆映射當且僅當它是雙射。

若兩個集合 和 間至少存在一個雙射 ，則稱 和 等勢。顯然這是一個等價關係。記集合 的勢，或稱作基數，為 ，若 和 等勢則 。所有集合的勢，是一個全序集 。記 是 集合 的所有子集的集合，那麼有以下定理。

定理(Cantor) 。

某些時候，已經給出了映射 ，但需要研究的對象只是子集 上的現象，則定義映射 ，並稱 是 在 上的限制。

若 使 ，則稱 是無窮集；否則就稱它是有限集。

至此映射的基本概念已經建立起來了。為了便於理解，時常賦予映射別的名稱：稱映到同一空間的映射為變換；稱映射空間上的映射為泛函或運算元；稱映到實數集上的映射為函數。

群

稱映射 是一個二元運算，其中 是有序偶的集合。把集合 ，連同定義在 上的二元運算 一起稱作是一個代數結構，記作 。

若 (1) 在 上定義了二元運算 (2，結合律) (3，單位元) (4，逆元) 則稱 是一個群，並稱 是運算 的單位元， 是 關於運算 的逆元。若運算 還滿足 ，則稱其是交換群。若運算 僅滿足結合律，則稱 是半群。

稱兩個群 和 是同構的，記作 ，若可以在兩個群間建立同構映射 ，其中 ，並且 是雙射。

域

若集合 上同時定義了兩種二元運算 （加法）和 （乘法）， 是單位元為0的交換群， 是半群，且有分配律： ，則稱 是一個環。

若環 的乘法是交換的，有單位元1，並且非零的元素關於乘法可逆，那麼稱 是一個域。

實數

對全序集 ，若 ，則稱 上有界， 是 的一個上界；同理可定義下界。若 同時有上界和下界，則說 是有界集。若 ，則稱 是集合 的最大元，記作 ；同理可定義最小元，記作 。稱 的上確界是 的上界的集合的最小元，記作 ；同理可定義下確界，記作 。

有時會用到定義：若 是 的最大元，則稱 是 的一個極大元；同理可定義極小元。

有了上面的準備工作，就可以定義實數：

稱集合 是實數集，或實數域，如果

(1) 是域

(2) 是全序集

(3) 是完備集，即實數集的任何非空有上界的子集有唯一的上確界

並把實數集記作 。序關係 可以寫作 ，若 。

作為實數的子集，我們首先研究的是自然數集 。下述原理是極為有用的：

命題(數學歸納原理) 若 ， ，且 ，則 。

顯然 是一個無窮集。稱和自然數集等勢的集合是可數集。若一個集合可能是有限集，也可能是可數集，就稱它是至多可數集。

定理 。

上述定理中 是有理數 的集合，其中 。稱集合 是無理數集。從而 。由於這個原因，稱 是 中的零測度集。

複數

稱一個有序偶 是複數，記作 ，若 的加法交換群按 定義，有單位元 ；乘法半群按 定義，且乘法可交換，有單位元 ，非 的元素關於乘法可逆，加法和乘法間有分配律。顯然 是一個域。

稱 是虛數單位，易驗證 。通常我們把一個複數 記作 ，稱 是 的實部， 是 的虛部。稱 是 的共軛複數。