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看書看到的一道幾何證明題

05-11

最近在讀《三角之美》，看到了一道幾何證明題，瞬間有點回到初三時候證明圓和三角關係的時代，記錄下。

題目： 有一段懸掛起來的竿子，現在從地面看這個竿子，問當距離竿子的水平距離為多遠的時候看竿子的夾角最大？

其實就是對於求解當 OP 為長時 angle APB 最大？

我們可以令 AO 長 為 a ， AB 的長是 b ， angle APB 是 heta ， angle APO 為 alpha ， angle BPO 為 eta ，假設當 OP 的長為 x 時， heta 最大，於是有：

egin{eqnarray} cot { heta} &=& cot ({alpha} - {eta}) &= &frac{cotalpha coteta + 1}{cot eta - cot alpha} &= &frac{frac{x}{a}frac{x}{b}+1}{frac{x}{b}-frac{x}{a}} &=& frac{x}{a-b}+frac{ab}{(a-b)x} end{eqnarray}

由於 cot heta 在 (0,frac{pi}{2}) 為單調遞減，所以 cot heta 最小時， heta 最大。利用基本的微積分可求得 x = sqrt{ab}

其實這個就是我們中學時候學到過的切割線定理： OP^2 = OA imes OB

根據上面的結論，我們可以證明：如果經過AB畫一個圓，那麼這個圓必定與OP相切於P點。

這個可以用反證法來證明，假設這時候OP與圓相交於 MN 兩點，而 P 是 MN 上的一個點，結果如下：

這個時候 cot angle AMB = frac{MO}{a-b}+frac{ab}{(a-b) imes MO} = frac{MO^2+ab}{(a-b) imes MO} ，因此在MN兩點上的夾角都會小於在MN中一點的夾角。

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