【筆記】不動點定理（二）KKM引理

05-11

這一部分是KKM引理。

設 $F_{0}, F_{1},…, F_{n}$ 是 $n+1$ 維單純形 $Delta$ 中的 $n+1$ 個閉集。

標號集 $I=left{0,1,…, n ight}$ ， $I_{0}inmathscr P(I)$ （即 $I_{0}subset I$ ）， $I_{0}$ 是來自於標號集的一組標號。

定理

KKM lemma：如果任意選擇的 $I_{0}$ 的凸包都在 $igcup_{i}F_{i}$ 里，那麼 $igcap_{i}F_{i}$ 是非空的。

證明

因為 $I_{0}$ 是任選的，我們需要考慮所有的 $I_{0}$ 。先考慮最大的 $I_{0}$ ，即用上 $0,1,…,n$ 全部的標號。那麼 $I_{0}$ 的凸包恰好就是單純形的定義。所以單純形 $Delta=igcup_{i}F_{i}$ ，此時 $igcup_{i}F_{i}$ 關於 $i=0,...,n$ 。

然後考慮小 $I_{0}$ 們，即母單純形 $Delta$ 的剖分中小子形（包括邊界上的低維子形）的頂點。對 $Delta$ 作越來越細緻的剖分。細緻程度從 $2,3,…$

如果某個小子形的頂點在原來母 $Delta$ 的邊界上，則根據假設條件，這個小頂點存在於由 $Delta$ 邊界母頂點所確定的凸包里，也就屬於 $igcup_{i}F_{i}$ 里。如果它屬於 $igcup_{i}F_{i}$ ，那麼它至少屬於其中一個 $F_{i}$ 。我們把這個 $F_{i}$ 的標號作為小頂點的標號。而如果小格子的頂點在母 $Delta$ 的內部，那麼同樣，至少存在於某個 $F_{i}$ 里，根據同樣的方式，把那個 $F_{i}$ 的標號最為小頂點的標號。

根據這種方式所做的標號，只能來源於 $Delta$ 邊界上的頂點，而不會來自於對面的頂點。因此滿足Sperner所要求的標號方法。根據Sperner』s lemma，存在奇數個完全標號的小子形。

每種細緻程度的剖分，只要滿足上述標號方式，都可以應用Sperner』s lemma 知存在奇數個完全標號的小子形。只不過剖分越細緻，小子形越小。

從每次剖分剖出來的完全標號小子形里任意選擇一個，把他的0標號頂點（選別的頂點也一樣）作為序列的一項，把這些越來越小的子單純形的頂點放成一個序列。而 $Delta$ 為單純形，是（同維度中）最簡單的非空緊凸集（是 $n+1$ 個仿射無關點的凸包）。緊集里，任意序列定有收斂子列。把這個收斂子列稱為 $x_{alpha}$ 。 $x_{alpha}$ 收斂於一點，我們稱這點為 $x$ 點。

而越剖越小，小子形的頂點之間彼此越來越接近。如果0標號的頂點收斂於 $x$ 點，那麼隨著越剖越小，小子形的每個頂點都收斂於 $x$ 點。而這些頂點序列中的每一項都屬於一個 $F_{i}$ 里，根據每個 $F_{i}$ 閉集的性質，閉集中序列的極限點都在這個閉集里，因此至少有 $x$ 這點作為 $x_{alpha}$ 的極限點存在於每一個 $F_{i}$ 里。所以 $igcap_{i}F_{i}$ 非空。 $square$

完事了。下次是從 KKM lemma 到 Brouwer，終於要不動了。