【拓撲】歸納定義原理、選擇公理、良序定理、極大原理

05-11

我發現今天仍舊是廢話的一天，而且我不打算寫很多的證明......就體驗一下理性的光芒吧2333

另，昨天我似乎漏掉了一個比較常見的不可數集（。

為了引出歸納定義原理，我們首先提出一個簡單引理並對其進行證明。

引理設 $C$ 是 $mathbb{Z_+}$ 的一個無限子集，那麼 $C$ 是一個可數無限集。

Pf：按要求先構造一個一一對應 $h$ ： $mathbb{Z_+} ightarrow C$ .採用歸納法。

由於 $mathbb{Z_+}$ 的任意非空子集都有最小元，因此我們可直接令 $h(1)$ 為 $C$ 的最小元，它一定存在。

現假定 $h(1),...,h(n-1)$ 已有定義，我們定義

$h(n)=[C-h($ { $1,...,n-1$ } $)]$ 的最小元

首先 $C-h($ { $1,...,n-1$ })一定是非空的，否則我們就構造出了一個滿射 $h$ ，而根據我們之前所學的定理這意味著 $C$ 為有限集，矛盾。故 $h(n)$ 的定義是確切的，由歸納法，對 $forall nin mathbb{Z_+},h(n)$ 都有定義。

證明 $h$ 是單射： $forall m<n$ , $h(m)in h($ { $1,...,n-1$ } $)$ ,根據定義 $h(n)$ 不屬於這個集合，故 $h(m) e h(n)$

證明 $h$ 是滿射：任取 $cin C$ ,欲證 $c在h$ 的像集中。首先注意到 $h(mathbb{Z_+})$ $otsubset$ { $1,..,c$ },因為 $h(mathbb{Z_+})$ 是無限集且 $h$ 為單射。那麼 $mathbb{Z_+}$ 中一定存在 $n,s.t. h(n)>c$ .我們令 $m$ 是滿足 $h(m)geq c$ 的最小元，那麼對於所有 $i<m$ ,總有 $h(i)<c$ .即： $c otin$ $h($ { $1,...,m-1$ } $)$ .而按 $h(m)$ 定義知 $h(m)leq c$ .故 $h(m)=c$ . Q.E.D

在上述證明中，我們並非用歸納法去證明這個引理，而僅僅是通過歸納定義出了一個雙射。由此可見，在用歸納法定義一個東西的時候，先行整理出一個定義可行的定理的是對證明有簡化與理論支撐的作用的。

歸納定義原理（principle of recursive definition)：設 $A$ 是一個集合， $a_0$ 為 $A$ 的一個元素。設 $ho$ 為一個函數，使得每一個從正整數的一個非空截映到 $A$ 中的函數 $f$ 對應於 $A$ 中的一個元素。則存在唯一的一個函數

$h：mathbb{Z_+} ightarrow A$ ,

使得

$h(1)=a_0,$

$h(i)= ho(h|$ { $1,...,i-1$ } $),$ 對於 $i>1$ $(*)$

$(*)$ 稱為歸納公式。

而關於該定理的證明我們還需要以下幾個定理作為鋪墊：

引理1 給定 $nin mathbb{Z_+}$ ,存在一個函數 $f:$ { $1,...,n$ } $ightarrow C$ ,對於定義域中的所有 $i$ 滿足 $(*)$

註：這裡 $(*)$ 指引理中構造出的歸納公式（有最小元敘述的），但是歸納定義原理中的更具一般性。下同。

引理2 $f$ :{ $1,...,m$ }與 $g$ { $1,...,n$ }對於各自定義域中所有 $i$ 滿足 $(*)$ .則對於公共的 $i$ ， $f(i)=g(i)$ .

定理存在唯一的一個函數 $h:mathbb{Z_+} ightarrow C,$ 使得 $(*)$ 對於所有 $iin mathbb{Z_+}$ 成立。

證明略。

從證明無限集出發，我們進而提出支持證明無限集方法的證明是正確的；也就是選擇公理。

證明無限集的方法和前面證明可數集的方法是相似的思路，不再贅述。

選擇公理(axiom of choice) 給定由兩兩無交的非空集合構成的一個族 $mathcal A$ ,存在一個集合 $C$ ,使得 $C$ 與 $mathcal A$ 的每一個元素恰好有一個公共元，即對於每一個 $Ain mathcal A$ ,集合 $Cigcap A$ 包含著唯一的一個元素。

我們更常見的是有限選擇公理，即對上述族限定為有限族。

選擇公理蘊涵良序定理。

良序定理(well-ordering theorem) 若 $A$ 是一個集合，則存在一個其上的全序關係，使 $A$ 成為一個良序集。

（良序：有全序關係的集合 $A$ 的任意非空子集有一個最小元。）

同時，良序定理蘊涵極大原理。

極大原理(maximum principle) $prec$ 為集合 $A$ 上的嚴格偏序，則存在 $A$ 中的一個極大全序子集B.

以上實際上感覺都應該為邏輯基礎，儘管它們的確為數學基礎服務；很多時候我們會下意識的認為他們是顯然的並會直接運用他們，因此證明我只是看過一遍也沒有再寫的必要了。

所以以上的推導與邏輯的證明真的只是鍛煉自己的邏輯思維能力以及嚴謹性吧.....感覺很多事情在未規定之前，看似可行的邏輯都是不嚴密的，嗯。

那麼有關拓撲的基本的數學與邏輯知識儲備我們已經有了，明天正式開始始拓撲空的學習吧 $checkmark$