豬和群同態定理們、單群以及可解群（三）

05-11

小豬的蘋果派被同事吃了後，整個天就灰了。

「若我的蘋果派還在，」小豬說，「一個定義了我的蘋果派的實平面是同胚於二維球面的。可惜，現在我的生活已向苦難開放了。」

「老師，你說的是……」學生問。

「半份蘋果派，」小豬說，「好了，別再讓我感受失望了。下面，將展示由有限交換群向單群的過渡歷程。」

對於有限交換群 $G=lbrace g_{i} brace_{i in I}$ ，必然 $exists g_{i}in G, vert g_{i}vert=maxlbracevert gvert;vert forall g in G brace,forall j eq i, vert g_{j} vert; vert ;vert g_{i} vert$ 。

「反證是容易的。」小豬說。

設 $exists g_{j}in G, vert g_{j}vert mid vert g_{i}vert$ ，如此，存在素數 $s$ ，滿足 $s^{t} mid vert g_{i}vert,s^{t} mid vert g_{j}vert$ 。設 $vert g_{i}vert=s^{t} y,vert g_{j}vert=s^{w} z,w>t,gcdleft(y,z ight)=1$ 。如此，可知 $vert {g_{j}}^{z}{g_{i}}^{s^{t}} vert=s^{w}y>vert g_{i} vert$ ，矛盾，即知原命題成立。