有限群表示論初步(1)——群表示

05-10

現在們開始系列有限群表示論初步的第一部分.

本節的任務是引入群表示的定義.

定義1 設 $V$ 是域 $F$ 上的線性空間，其上的可逆線性變換全體關於線性變換的複合構成一群，稱作 $V$ 上的一般線性群，記作 $GL(V)$ .

定義2 設 $G$ 是一群， $V$ 是域 $F$ 上的線性空間，稱從 $G$ 到 $GL(V)$ 的群同態 $ho$ 為 $G$ 在 $V$ 上的表示.

在有限群表示論中，經常選取域 $F$ 為複數域 $mathbb{C}$ ，並選取 $V$ 為有限維線性空間. 線性空間的維數稱作表示的維數.

此後文中若無特殊說明，線性空間均是複數域上的有限維線性空間.

從群表示的定義可以看出，群表示將抽象的群元素映射為了可逆線性變換，這樣就給出了一條利用線性代數來研究群的結構的途徑. 當然我們需要問：

線性代數的工具能否運用到群的結構的研究上，即這樣的途徑是否可行？

能否在群論的工具的得到的結果之上給出進一步的結論，即這樣的途徑是否有效？

當然一般而言這兩個問題的答案也只有在學科發展到定程度才能做出某種意義上的回答，雖然群表示論到如今也發展出了很多結果（我不知道啊我只是初學者），但是當時理論的開創者如果遇到這兩個問題，也只能說，「(劃掉）人這（劃掉）理論的一生啊，自己不可以預料.」

根據已經建立的結果和歷史的進程，我們知道這兩個問題的答案都是肯定的，群表示確實為群的結構的研究帶來了新的方法和結果. 雖然本系列的第一部分只是這一領域非常基本的內容，我們也可以在我們簡單的介紹中對其方法與意義略窺一二.

我們首先舉一些例子.

例1 設 $G=D_n=<sigma, au>$ 為二面體群，其中 $sigma$ 是 $n$ 邊二面體頂點的輪換， $au$ 是頂點的對換. 則 $G$ 自然的有群表示 $ho:G ightarrow GL(mathbb{R}^3)$ ， $ho(sigma)$ 是繞 $z$ 軸旋轉 $frac{2pi}{n}$ ， $au$ 是繞 $x$ 軸的翻轉.

例2 按照例1的方法， $n$ 階循環群，四面體群，八面體群，二十面體群也自然地有三維實空間上的群表示.

例3 設 $G=S_n$ 為 $n$ 階對稱群，則 $G$ 有置換矩陣表示 $ho:G ightarrow GL_n(mathbb{C})$ ，其中 $ho(g)=(a_{ij})_{n imes n}$ 是置換 $gin S_n$ 的置換矩陣，即 $a_{ij}=1$ 當且僅當 $g(i)=j$ .

特別的，取 $n=3$ ， $G=<(123),(12)>$ ，則有 $ho((123))=left( egin{matrix} 0&0&1\ 1&0&0\ 0&1&0\ end{matrix} ight)$ .

定義3 稱群表示 $ho$ 是忠實的(faithful)，若 $ho$ 作為群同態是單同態.

忠實的群表示的像與原來的群同構，從某種意義上講是蘊含了群中所有的信息的.

上述例子中的表示都是忠實表示. 一般的，我們有

命題1 任何有限群都有忠實的群表示.

證明：由Cayley定理，對任意有限群 $G$ ，其中 $|G|=n$ ，存在由左乘作用 $G imes G ightarrow G, (g,h)mapsto gh$ 誘導的群同態 $varphi: G ightarrow S_n$ ，且是單同態.
則 $S_n$ 的忠實表示 $ho$ 可誘導出 $G$ 的忠實表示 $ho circ varphi ： G ightarrow GL_n(mathbb{C})$ .

推論任何有限群都可視為一般線性群的子群.

定義4 命題1證明中的表示 $ho circ varphi$ 稱作群 $G$ 的正規表示，記作 $ho^{reg}$ .

有限群的正規表示將會在隨後主定理的證明中起到重要作用.

下節我們介紹表示的分解/直和與不可約表示的概念.