關於討論三角函數Sin(x)極限是否存在

前言

近日有得於朋友的交流，討論之中遇到了函數Sin(x)在一些考研數學極限題中的情況，作者不是數學專業的學生，但對這一函數的極限是否存在非常感興趣，於是近自己所能去探討問題的答案，如果有幸被數學系的同學閱讀，希望大方斧正，萬分感激。

正文

本文討論的重點是極限： 是否存在。

在證明它的極限是否存在之前，我們先來看看一個經典的數列：

而這個數列的和可以用Sn來表示：

那麼，Sn的極限應該是多少呢？是1？還是0？

在計算這個結果的時候，我們不妨先換個角度理解一下Sn。

Sn就好比一個小孩不斷的先向前走1米再向後走1米，Sn就可以簡單的理解為小孩走的總路程，這個路程不斷的在1米和0米之間徘徊，那麼實際上Sn的極限就相當於小孩的速率，狹義上觀察也就是Sn/n的值，我將這個分式的前幾項的值我列了出來：

我們可以將Sn類比為X(t)，那麼Sn的極限也就是X(t)圖的斜率，如下圖：

可以發現，X(t)圖的斜率會周期性的出現1/2，其他的部分線段也隨著t的增大斜率趨近於1/2，也就是說在t=∞的時候，斜率應該是無限趨近於且等於1/2的。

如我們之前的類比：

那麼Sn的極限是當n=∞時，Sn/n的值，即：

（※值得注意的是，雖然這兩個極限大小和性質完全相同，但本質上不是一個極限）

準備階段結束了，接下來就進入正題：

首先我們將Sin函數看作一個數列Sin

然後使Pn等於數列Sin的正向和（n>0）

接下來將Pn進行一次分類，每π為一部分用括弧分類：

分類完成後每一部分就包含了π單位個Sin函數的部分，每部分的面積設為α（如下圖）：

如此一來，就可以將Pn進行化簡：

接下來就可以對求Pn其平均收斂：

同Sn的極限求法，對Pn/n也進行極限求值：

這樣一來就可以直觀的得到Sin函數在x=-∞的極限以及x=+∞的極限：

最後判斷兩個極限的值是否相等：

那麼結果就呼之欲出了：

極限： 存在，且值為0。

尾巴

其實自己很少有機會去沉下心來探究並學習數學方面的知識，目前也僅在為研究生考試的準備之中略識皮毛，但是能夠在一番「自言自語」中得到結果就心滿意足了。

附上思路：

今天是2018年4月1日，來自認知日誌專欄的第五頁，希望你可以從中有所得。

如果文中有什麼錯誤，勞煩指出，謝謝。

祝進步。