【常微】期末復慣用?存在和唯一性定理

05-10

Warning:僅對我校期末複習有輕微幫助。

期末過後會補充的內容：Peano存在定理的證明，比較定理及其應用。

關於常微的存在及唯一性定理，首先遇到的便是皮卡定理了。關於這一塊，我想可以直接把以前寫的那一篇作為純練習的文章貼過來，和書上的證明幾乎一樣，添加了一些個人的解釋：

千里襞：【常微】皮卡存在和唯一性定理佩亞諾存在定理（一）?

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（啊那明晃晃刺眼的「（一）」，終究是被我鴿掉了2333）

那麼直接進入Osgood條件吧，這是一個比李氏條件更弱的條件，李氏是其特殊情形：

Osgood條件 設函數 $f(x,y)$ 在區域 $G$ 內連續，而且滿足不等式 $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|leq F(|y_1-y_2|),$ 其中 $F(r)>0$ 是 $r>0$ 的連續函數，而且瑕積分 $int_{0}^{r_1}frac{dr}{F(r)}=infty$ （ $r_1>0$ 為常數）。

Thm （唯一性定理）設 $f(x,y)$ 在區域 $G$ 內對 $y$ 滿足 $Osgood$ 條件，則微分方程 $frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 在G內經過每一點的解都是唯一的。

證明只給出大致思路：用反證法。假設經過某點有兩個解，並設出使兩條積分曲線不同值的 $x_1$ 與使得兩條曲線相同值的上確界 $ar{x}$ ，定義函數 $r(x)$ 為兩積分曲線之差，且恆大於0.

將該函數進行求導，則可以使用Osgood條件得出新的不等式，再將該不等式重新從 $ar{x}$ 積到 $x_1$ ，即可得出 Osgood條件瑕積分的那個式子：而這次等式右邊是一個有限的數，故而推出矛盾。

?歐拉折線

期末考試大概必考項目之一。其理論基礎在書上寫得算是詳盡了，而我也就摸魚直接簡述大致思想吧。歐拉折線是建立在線素之上的，將每一小段的大致圖像都用延長了的線素來代替，到達新的「拐點」，就採用該點新的斜率。以此方法做出的折線，當每一段取得足夠小，就能越接近所要的積分曲線。

顯然，我們並未證明歐拉折線的收斂性，這都交給了Peano存在定理（需用到Ascoli引理），且我們只是證明了存在性。

?Peano存在定理（暫略）

?解的延伸（拓）

前面所討論的都是局部性的；現在我們討論在整體解有怎樣的性質。

一句話，解將延伸到某區域的邊界。

要證明這一結論，最大存在區間的概念被引入，指使積分曲線存在的x的範圍。不妨討論某點右側，有三種情形：第一種，本身該區間上限為無窮，自然能延伸到邊界；第二種，有限閉區間；第三種，有限半開區間。第二種證明的方法是構造性的，用Peano定理我們得到在所設的邊界處解是可以延伸（連續一定是保證的）的，從而與最大存在區間的概念相衝突；第三種則是延拓了半開區間的端點，使得原本不能被定義的點有了定義，從而使半開區間成了閉區間，與假設矛盾。

與此有關還有一個定理，留待期末以後吧（）

T.B.C.

太水了...主要是不想打字寫證明了，Latex打起來簡直是手殘災難2333.