【拓撲】序拓撲、積拓撲、子空間拓撲

按順序，首先是序拓撲：

顧名思義，我們給定一個集合 具有全序關係，而由其中所有的開區間， 和 區間組成的族構成其上的某個拓撲的一組基，其生成的拓撲即為序拓撲。其中，上述 分別為該集合的最小元和最大元，如若沒有便可不予考慮。

自然首先要證明其是否滿足基的存在條件。對於集合任意元素 ，基的第一個條件顯然滿足，而任意兩者之交的結果仍然是屬於上述三種情形的，證畢。

e.g. 標準拓撲是一種序拓撲。

在字典序下的集合 的序拓撲有一個形如 的所有開區間的族組成的基。用圖表示即為：

的序拓撲為離散拓撲。

字典序下的集合 上的序拓撲不是離散拓撲，原因出在 上，包含其的基元素一定有無窮多個形如 的點。

還有開射線、閉射線的定義，沒有必要抄書再敘述一遍了。

然後是積拓撲：

Def 設 和 是兩個拓撲空間， 和 分別是其上的開集，則所有 組成的族 構成了 上的積拓撲的一個基。

在此基礎上，我們有更好的性質，無需兩個拓撲空間所有的開集相乘得到一個基，而是只需兩個空間的分別的一組基相乘，得到也是積拓撲的一個基。這樣一來，在說 上的標準拓撲的一個基的時候，只需是所有開區間而非開集相乘了。

Def 設 定義為：

定義為：

分別稱為到第一個因子和到第二個因子的投射(projections).

Thm 族

是 拓撲積的一個子基。

目前想不出定義這些有什麼用...在幾何直觀上還是挺好看的。

最後是子空間拓撲：

Def 是存在拓撲 的拓撲空間 的子集，則族 是 的一個拓撲，稱為子空間拓撲。 這樣的 稱為子空間。

類似於積拓撲，我們討論其的一個基的時候，也是從已有的基出發。而我們發現子集 與拓撲 的一個基交得的族即為其上的一組基。

需注意，有時 上的開集並不一定是 上的開集，除非 本身就是 的開集。

我們需在子空間的條件上繼續探討序拓撲與積拓撲，看他們與其對應的子空間拓撲之間的關係。

積拓撲的性質是相對較好的，因為我們可以很自然的得出兩個子空間相乘的積拓撲與相對應的繼承得來的子空間拓撲是等價的。

序拓撲則還需附加條件：該子集應為凸子集，這裡的凸的概念我覺得和學多元微積分那裡的凸的概念應該是一樣的，在幾何直觀上應反應為任意兩點的連通性——這裡的說法多少欠缺嚴謹性。

目的是去除掉以下的例子：

e.g. 的子集 .

限制在 上的 的字典序與從 繼承的子空間拓撲是不相等的，而這個例子我至今還沒有想透，感覺還是從幾何直觀上稍微能想多一點，但我覺得這兩者是相等的啊...待我明天問老師（。

習題：

簡單的敘述一下大概思路，感覺沒有太過於複雜的證明。（也可能是我想得太簡單了）

1.設 上的拓撲分別為 ,其中 不妨設為子空間拓撲。

從 繼承的拓撲 而顯然如此得到的拓撲中的元素都是屬於 上的拓撲的，因而 ;

從 繼承的拓撲

又 從而 Q.E.D

2.3.4.略

5.找出使之變細的因素併入手就可以很不優雅的做出來（？

6.前面定理的直接推論。

7.略

8.前者為下限拓撲，後者應該是離散拓撲。

9.前面所貼的那個圖裡的第二個圖應該就是離散拓撲叉乘標準拓撲的圖樣了，故等價性是較為顯然的。

10.從圖上第一個與後兩者有較大區別，但是後兩者我真的

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