【拓撲】整數與實數系（一）

05-10

看到標題就知道這不會有什麼乾貨在裡面了2333

至於還要分兩章來講是因為我發現有很多可以寫的東西（其實是突然發現有很多東西我不熟orz

LaTeX書到了，可以試驗一下（

上上一篇文章講了拓撲大概的邏輯基礎，現在轉入討論它的數學基礎。

Definiton 二元關係：將 $AXA$ 映到 $A$ 中的一個函數 $f$

談論他的代數性質，對於加法與乘法運算結合律、交換律、分配律均滿足；加法零、逆元； $ightarrow$ 滿足這些的稱為域

代數與序的混合性質，即熟知的幾個不等關係； $ightarrow$ 有序域

以上在抽代里也會作為基礎提到。

序的性質，全序關係具有上確界性質；若 $x<y$ ，則存在 $z$ ， $s.t.$ $x<z,z<y$ （這一條實際上可以由上述條件推出來）;滿足這兩條的稱為線性連續統。

而現在，我們將用以上性質定義什麼是整數。

Definition 實數集的一個子集稱為歸納的，如果它包含著1，並且只要 $xin A$ ,必有 $x+1in A$ .設 $mathcal A$ 為 $mathbb{R}$ 中所有包含1的歸納子集的族。正整數集 $mathbb{Z_{+}}$ 定義為

$mathbb{Z_{+}} =igcap_{ain mathcal A} A$

顯然，整數集是歸納集。

由此我們得出一個歸納原理：若 $A$ 是包含1的正整數的一個歸納集，則 $A$ = $mathbb {Z_{+}}$

而這個原理可通過以下兩個形式表現：

良序性質： $mathbb {Z_{+}}$ 的每一個非空子集有一個最小元。

強歸納原理：設 $A$ 是一個以正整數為元素的集合，假定對於每一個正整數 $n$ , $S_{n}subset A$ 蘊涵 $nin A$ ,則 $A=mathbb {Z_{+}}$ .

需指出 $S_{n}$ ={1,2，...,n-1} (怪不得之前我一直沒想通）

(證明略）

在這裡我們重提笛卡爾積，並介紹兩個集合以上的笛卡爾積的相關內容。

Definition $mathcal A$ 的指標函數：從某個集合 $J$ 到 $mathcal A$ 的一個函數 $f$ （要求滿射），其中 $J$ 稱為指標集, $mathcal A$ 為非空集族。

我們可以通過上述定義很簡便的定義多個集合的笛卡爾積，不過打字起來十分麻煩......就提一下m-串（針對有限個集合）， $omega-$ 串（針對無限個集合）好了，它們很像我們熟知的向量（或許就是）。進而提出m-維歐式空間，儘管歐幾里得從未研究過它（。

有了以上的知識，我們可以進行對有限集、無限集、可數集和不可數集的定義了。感覺十分基礎且易懂（重點是不容易忘），直接跳過繁瑣的敘述好了。

在Rudin那本書里，我知道了能夠和子集一一對應的集合一定為無限集，而依此我想寫一寫將笛卡爾積 $mathbb {Z_{+}} X mathbb {Z_{+}}$ 映到 $mathbb {Z_{+}}$ 的方法。

做一個一一對應 $f$ : $mathbb {Z_{+}} X mathbb {Z_{+}} ightarrow A$ ,其中 $A$ 是由滿足 $yleq x$ 的點 $（x,y)$ 組成的 $mathbb {Z_{+}} X mathbb {Z_{+}}$ 的子集， $f$ 定義為：

$f(x,y)=(x+y-1,y)$

然後再作 $A$ 與正整數集間的一一對應 $g:A ightarrow mathbb{Z_+}$ ,定義為：

$f(x,y)=frac{1}{2}(x-1)x+y$

感覺很奇妙（。

判斷一個非空集是否可數的常規方法是，要麼找一個截整數集到B是滿射，要麼找B到一個截整數集是單射，證明依舊略。

不可數集的例子 : 笛卡爾積{ $0,1$ } $^omega$ 、 $mathcal P$ $(mathbb{Z_+})$ 、 $mathbb R$

提前說一下，第一個和第三個並不是完全類似的證明； $mathbb R$ 的不可數性並不依賴於 $mathbb R$ 的無限十進位展開，也不依賴於它的任何代數性質，而僅與序性質有關。

Definition：一個實數 $x$ 稱為（在有理數集上）是代數的，如果他滿足某一個具有有理係數 $a_i$ 的正次數的多項式方程。不是代數的，則稱為超越的（熟知的僅有e和π）。

代數數的集合是可數集，超越數的集合是不可數的。

今天就到這裡，下次集中寫有關幾個定理（歸納定義原理、選擇公理、極大原理）推理過程，以及良序集的相關內容。