關於光速不變原理

05-10

本文主要討論了光速不變原理在歷史上認識的發展，愛因斯坦第一次提出的光速不變原理與我們現今所了解到的光速不變原理稍微不同，但是也反應出了認識上的差異。這時的光速不變原理沒有證明與相對性原理是相容的。而後愛因斯坦用時空變換公式證明了它。原因是第一次提出的光速不變原理是為了符合那些企圖證明地球相對於光以太運動的實驗結果，再用邏輯推理來說明以太這個概念是不必要的。

1.引言

在現有的涉及到狹義相對論的教科書或者資料上一般都是這樣提出光速不變原理的：光速相對於任何慣性參考系都是個常數。而在愛因斯坦在1905年發表的《論動體的電動力學》中對光速不變原理的敘述與現今理解的稍微不同，是這樣的：任何光線在「靜止的」坐標系中都是以確定的速度 $V$ 運動著，不管這道光線是由靜止的還是運動的物體發射出來的。也就是說這時的光速不變原理沒有涉及到參考系的選擇，而只是針對與「靜止的」參考系來敘述的。這裡的光速不變原理為了方便與現在所述的光速不變原理作區分，我們暫且稱之為「弱的」光速不變原理。我們可以發現，「弱的」光速不變原理是與相對性原理不一定相容的，我們必須證明它。而在三年後的1908 年，愛因斯坦發表的《關於相對性原理和由此得出的結論》論文中關於光速不變原理是這樣來敘述的：在坐標系沒有加速的前提下，這些鍾可以這樣來校準，使得真空中任何光線的傳播速度——用這些鍾來度量——總是等於一個普適常數c。也就是說，在三年後的這篇論文中，愛因斯坦並沒有用「弱的」光速不變原理，而直接提出來了現在我們通常認為的光速不變原理。

在這篇論文中，首先我們沿著愛因斯坦認識的步驟，證明「弱的」光速不變原理同相對性原理是相容的。然後分析了提出「弱的」光速不變原理的原因。最後討論一下「弱的」光速不變原理在當今狹義相對論教學中的意義。

2.證明「弱的」光速不變原理是與相對性原理是相容的

我們假設有一個速度為 $v$ 參考系 $s$ 相對於靜止的參考系 $s$ 運動， $s$ 系的四個分量為 $x,y,z,t$ ，而 $s$ 系的四個分量為 $x,y,z,t$ ，假設兩坐標系的坐標軸在開始時是重合的， $s$ 系沿著 $x$ 軸勻速運動。則對於 $s$ 系中的任意一點的 $x$ 的坐標為 $x-vt$ ，令 $alpha=x-vt$ 。我們假設 $t$ 是 $alpha,y,z$ 的函數，在 $s$ 系中已經同步了鍾。在 $s$ 系的原點時間為 $t_0$ 沿著 $x$ 軸發射一道光線在 $t_1$ 時刻到 $alpha$ 點，在此點反射，在 $t_2$ 時刻返回到此坐標系的原點。於是有

$t_0+t_2=2t_1$

在靜止參考系中光速不變，即用到我們前面所講的「弱的」光速不變原理，所以在靜止參考系s系中，有

$t(0,0,0,t)+t(0,0,0,t+frac{alpha}{c-v}+frac{alpha}{c+v})=2t(alpha,0,0,t+frac{alpha}{c-v})$

取 $alpha$ 為無窮小，整理上式就可以得到：

$frac{partial t}{partial alpha}+frac{v}{c^2-v^2}frac{partial t}{partial t}=0$

在靜止參考系看來，光沿著y,z軸方向的速度為 $sqrt{c^2-v^2}$ ，於是t與坐標y,z無關，由於t為線性函數，設當 $t=0$ 時， $t=0$ ，於是有

$t=psi(v)(t-frac{v}{c^2-v^2}alpha)$

假設在x軸的方向發出一道光線，有：

$x=ct$

由於光源在s系的原點處是運動的，所以根據「弱的」光速不變原理，相對於靜止參考系也是c。於是

$frac{alpha}{c-v}=t$

所以就得到

$x=psi(v)gamma(x-vt)$

這裡令 $gamma=frac{1}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$ ,同樣的我們可以得到關於y,z的關係式。我們得到了從勻速運動的參考繫到靜止參考系的時空變換關係，即：

$egin{cases} %若用 split 環境則沒有大括弧 t=psi(v)gamma(t-frac{v}{c^2}x)\ x=psi(v)gamma(x-vt)\ y=psi(v)y\ z=psi(v)z end{cases}$

這就是我們現在所說的洛倫茲變換式，但是推導洛倫茲變換式，正如我們所做的，沒有用到現在的光速不變原理。只是用到了「弱的」光速不變原理。利用以上的洛倫茲變換公式可以證明此時「弱的」光速不變原理同相對性原理是相容的，假設在靜止的坐標系的原點處發射一個球面光波，在s系中以光速傳播，就有：

$x^2+y^2+z^2=c^2t^2$

利用洛倫茲變換公式可以計算出

$x^2+y^2+z^2=c^2t^2$

所以在運動參考系s系中，這個光波也是以速度c的速度傳播。於是「弱的」光速不變原理同相對性原理是相容的。

3.提出「弱的」光速不變原理的原由

我們知道，愛因斯坦的狹義相對論說明了以太的概念是不需要的，可是為什麼要拋棄以太的概念？在現今的一些教科書上是模糊的，甚至就沒有提到光以太這個已經拋棄了的概念。在19世紀一個世紀里，很多物理學家做了大量的實驗去證實光以太的存在。但是這些實驗所得到的結果不能否定以太的存在。比如霍克實驗說明了在一階精度內，地球的絕對速度對實驗毫無影響，但是不排除以太的部分拖動說。而邁克爾孫-莫雷實驗在二階的精度內說明了地球的絕對速度對實驗毫無影響。這時愛因斯坦所假設的「弱的」光速不變原理正是這些實驗結果的體現。

我們下面分析一下，在《論動體的電動力學》論文中提到的「弱的」光速不變原理：「任何光線在『靜止的』參考系中都是以確定的速度c運動著，不管這道光線是由靜止的還是運動的物體發射出來的。」這裡的「靜止的」參考系指的就是光以太。我們把地球看做是運動物體作為光源的運動，就顯示出了以上的實驗結果。

並且，我們在上節證明了的「弱的」光速不變原理同相對性原理是相容的，就說明即使是在一個勻速運動的參考系中看來，不管光源是靜止還是勻速運動，我們觀察到的光速都是$c$。這時，靜止的參考系（即光以太）這個概念是不必要的。這時我們才可以說：光相對於任何慣性系都是個常數。這正是我們現在所講的光速不變原理。

4.總結

在我們現今的講解狹義相對論是從光速不變原理和狹義相對性原理導出時隔不變性，進而導出洛倫茲變換這樣的體系。這樣的講解邏輯上是完備的，這裡的光速不變原理是直接與相對性原理相容之後的。這裡的光速不變原理不是一個獨立的原理，是相輔相成的。而「弱的」光速不變原理卻是與相對性原理獨立的。提出「弱的」光速不變原理，是為了更好地講解狹義相對論的兩條基本原理，經過對比，更能突顯出相對論與洛倫茲等人提出的理論的區別，也更能清楚地理解狹義相對論對時空觀的變革。