復幾何：一些簡單的線性代數（續）

05-09

五月份是寫畢業論文的「好」時候，於是要做的事情又多了起來。一個好的狀況是至少我已經把消失定理給大概搞清楚了，再慢慢優化一些細節應該就還行了；至於嵌入定理，再慢慢來。

接著之前的文章，這次希望在不引入 Hodge $*$ -運算元的前提下給出 Lefschets 分解等一系列內容，當然只是線性空間版本的。為什麼要干這個事情呢，因為我想要證明 Kahler 恆等式。一種通常的辦法是在一個比較好的局部坐標下強行計算，但我是不太喜歡這個的；似乎有一種基於 Lefschets 分解的方法，不過我還在看。同樣地，我也是不太喜歡 Hodge $*$ -運算元的，所以也希望盡量避免它；不過看起來似乎確實是可以的。

但這並不是說它們不重要或者沒有用，還是要學起來的。最近一年多（或者更長？）的經驗告訴我，有時候個人情感是要放在一邊的：比如你不喜歡某種處理問題的辦法，但是真正面對具體問題的時候又還是得用一下；又比如你喜歡某種理解事物的方式，但是遇到一個全新的複雜的東西的時候又不得不妥協；再比如你喜歡某個人，但是她不喜歡你也沒有什麼辦法。

但是自娛自樂的時候，那就是我喜歡怎麼干都行了。

上次主要做的事情是在一個實線性空間上引入了一些結構：復結構、（相容的）內積、辛結構和埃爾米特內積。而從一個線性空間出發我們有很多構造新的線性空間的辦法：直和、對偶、張量積、外積等等，於是可以考慮在這些操作之下這些新的結構要如何保持。

不過正式開始之前，我們先來注意一些比較平凡但又有用的事實。

首先考慮一個實向量空間 $V$ ，那麼它的復化 $V_{mathbb C} = V otimes_{mathbb R} mathbb C$ 上有一個自然的「共軛映射」，即 $v otimes lambda mapsto v otimes ar lambda$ ，這個映射顯然不是線性而是反線性的，並且兩次複合等於恆等映射。反過來，任意給定一個復向量空間 $V$ ，當然可以想像存在這樣反線性且兩次複合為恆等的映射了，但似乎並沒有一種 canonical 的方式來找這樣一種映射：最簡單考慮復一維的情形，這樣一個映射可以想像成在二維平面上畫一條過原點的直線並相對於它做反射，但選哪一根直線似乎都沒有分別。如果把這個復向量空間視為一個 $(V , J)$ ，那麼容易相信，給定這樣一個映射等價於給定一個實子空間分解，或者說，等價於給定一個實子空間。這一方面是顯然的：如果 $V = W oplus J W$ ，那麼這個「共軛映射」就是 $mathrm{id}_W oplus (-mathrm{id}_{JW})$ 。而另一方面，如果 $f : V o V$ 是反線性的且 $f^2 = mathrm{id}_V$ ，那麼定義 $W := {v in V mid f(v) = v}$ ，則 $JW = {v in V mid f(v) = -v}$ 。顯然 $W cap JW = ker f = {0}$ ，且對任意 $v in V$ 有 $v = frac12(v + f(v)) + frac12(v - f(v))$ ，故 $V = W oplus JW$ 。（勘誤：上次在實子空間的地方連定義都寫錯了，不過不打算改了）這至少對 $overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$ 有了更明確的解釋。

其次，給定 $(V,J,g)$ 後，回憶我們定義 $omega = g circ (J otimes mathrm{id}_V)$ ，但接下來 $h = g - i omega$ 為埃爾米特內積，對第二個變數是反線性的。（上次用的 $h = g + i omega$ 對第一個變數為反線性，但之後還是改成更常用的習慣）復化之後，在 $V_{mathbb C}$ 上我們也能把 $omega$ 和 $g$ 做自然的「複線性延拓」，仍然用相同的字母表示。

考慮在 $V_{mathbb C}$ 上給一個埃爾米特內積，用 $langle - , - angle$ 表示，定義為 $langle v otimes lambda , w otimes mu angle = lambda ar mu cdot g(v,w)$ ，注意這與 $g$ 並不是同樣的東西。記得 $V_{mathbb C} = V^{1,0} oplus V^{0,1}$ ，簡單的計算容易看出這個直和分解相對於此內積是正交的，並且 $(V^{1,0} , langle - , - angle) cong (V , h)$ 。當然，這裡用不同的同構（比如上次給出的同構）通常會有一個常數因子的差距，不過不太影響。具體計算下面也會出現，就先不寫了。

好吧，那我們先從復結構開始，之後再引入相容的內積。

一、復結構

先從對偶開始。給定一個 $(V , J)$ ，自然可以給出實對偶空間和對偶映射 $(V^* , J^*)$ ，這沒什麼好說的。注意到 $(V_{mathbb C})^* := mathrm{Hom}_{mathbb C}(V otimes_{mathbb R} mathbb C , mathbb C) cong mathrm{Hom}_{mathbb R}(V , mathbb C) cong V^* otimes_{mathbb R} mathbb C =: V^*_{mathbb C}$ ，所以復化與對偶的關係是很好的。這裡的第一個同構是 adjoint functor 得到的，但第二個同構並不是一般地成立——換言之， $mathrm{Hom}_{mathbb R}(V , P) cong V^* otimes_{mathbb R} P$ 並不是對每一個復向量空間 $P$ 成立。這裡又是熟悉的內容再一次出現，恰好在最近的一個回答中有比較仔細地說到，不過這裡加入了換基的元素：我們總是自然地有映射 $V^* otimes_{mathbb R} P o mathrm{Hom}_{mathbb R}(V , P)$ ，並且一定是單射，但通常並沒有什麼理由是滿射（並且你可以嘗試說明某些時候它一定不是滿射，主要是因為這個像裡面的這些映射一定是有限秩的），不過當 $P$ 有限維的時候一定是滿射。

同樣可以從非退化的雙線性型來考察這個同構，具體就不多說了，也就是 $V$ 和 $V^*$ 之間雙線性型自然地複線性擴張。

對於 $V^*_{mathbb C}$ 我們同樣有分解 $V^*_{mathbb C} = (V^*)^{1,0} oplus (V^*)^{0,1}$ ，而考慮到 $(V_{mathbb C})^* = (V^{1.0} oplus V^{0,1})^* cong (V^{1,0})^* oplus (V^{0,1})^*$ 以及上面的那個同構，我們自然會問這兩個分解是否有關係？考慮 $(V^*)^{1,0}$ 中的一個元素，它可以寫為 $alpha otimes 1 - J^* alpha otimes i$ ，其中 $alpha in V^*$ 。倒著走一遍上面的同構，首先它被映到 $alpha - i cdot J^* alpha$ ，然後被映到 $(V_{mathbb C})^*$ 中成為 $(v otimes lambda mapsto lambda cdot alpha(v) - i lambda cdot alpha(Jv))$ ，於是 $v otimes 1 + Jv otimes i mapsto alpha(v) - i alpha(Jv) + i alpha(Jv) - alpha(v) = 0$ ，即作用在 $V^{0,1}$ 上是零。同理， $(V^*)^{0,1}$ 中的元素通過上面的同構打過去後作用在 $V^{1,0}$ 上也是零，於是對於這個同構分解，我們可以說：

Proposition. 有自然的同構 $(V^{1,0})^* cong (V^*)^{1,0}$ 和 $(V^{0,1})^* cong (V^*)^{0,1}$ 。

考察一下在具體的一組基下面會發生什麼。回憶我們總能取 $V$ 的一組基 ${e_1 , ldots , e_{2n}}$ 使得 $J e_i = e_{n+i}$ ，下面不妨把這組基記為 ${x_1 , ldots , x_n , y_1 , ldots , y_n}$ ，即 $J x_i = y_i$ ；同樣在 $V^*$ 上取對偶基 ${x^1 , ldots , x^n , y^1 , ldots , y^n}$ 。那麼在 $V_{mathbb C}$ 上我們會選擇 $z_i := frac12(x_i otimes 1 - y_i otimes i)$ 與 $ar z_i := frac12(x_i otimes 1 + y_i otimes i)$ 做為一組基，在 $V^*_{mathbb C}$ 上選擇 $z^i := x^i otimes 1 + y^i otimes i$ 與 $ar z^i := x^i otimes 1 - y^i otimes i$ 做為一組基。（這樣選擇的基是很好的，具體哪裡好呢？）

接下來考慮張量積和外積。雖然之後的具體應用上我們並不關心張量代數的事情，但由於外代數的定義總會涉及到張量代數，我們或多或少也要考慮一下。

先回憶一下外代數的定義。對於一個域 $mathbb K$ 上的線性空間 $V$ ，定義 $T^n V := V^{otimes n}$ 與 $T^{ullet} V = igoplus_{n =0}^{infty} T^n V$ ，且易見 $(T^{ullet} V , otimes)$ 是一個含幺結合代數，並且有萬有性質（具體交換圖不畫了，即含幺結合代數到向量空間的遺忘函子的左伴隨）；此外它也顯然是一個 $mathbb Z$ -分次代數。考慮由 ${v otimes v mid v in V}$ 生成的雙邊理想 $I$ （當域的特徵不是 $2$ 的時候顯然等價於 ${v otimes w + w otimes v mid v , w in V}$ 生成的雙邊理想——當然我們都在特徵零的域上做的），定義商代數 ${igwedge}^{ullet} V := T^{ullet} V / I$ ，稱為外代數。此外，由於 $I$ 顯然是一個齊次理想（因為是由齊次元素生成的），故有 ${igwedge}^n V = T^n V / I^n$ ，這裡 $I^n := I cap T^n V$ 。把 ${igwedge}^{ullet} V$ 中的乘法記為 $wedge$ ，即 $(a + I) wedge (b + I) := a otimes b + I$ ，易見此乘法不是交換的，但是是「超交換」（super commutative）的，即有 $a wedge b = (-1)^{deg(a) deg(b)} b wedge a$ 對齊次元素 $a , b$ 成立。

如果 $V$ 是有限維的且有一組基 ${e_1 , ldots , e_n}$ ，那麼容易證明 ${igwedge}^k V$ 有一組基為 ${e_{i_1} wedge cdots wedge e_{i_k} mid 1 leq i_1 lt cdots lt i_k leq n}$ 。

我們不去考慮反對稱張量（泛函）的事情，因為那裡的計算稍顯複雜，而且從定義上來說有很多的數值因子不方便記憶，不同的選取會給出不同的結果：通常有兩種選取，相差一個階乘因子。我們轉而考慮另一個問題，即 ${igwedge}^{ullet}(V^*)$ 與 $left({igwedge}^{ullet} V ight)^*$ 之間的同構（與普通的張量不太一樣，這裡似乎並沒有一個 canonical 的同構）。事實上，似乎不太需要考慮別的東西（比如多重反對稱線性泛函），一直想著這個同構就好了。

我們用一個非退化雙線性型來表達這個同構：考慮由 $langle f_1 wedge cdots wedge f_k , v_1 wedge cdots wedge v_k angle := det(f_i(v_j))$ 給出的雙線性型 ${igwedge}^k (V^*) imes {igwedge}^k V o mathbb K$ ，假定 ${e_1 , ldots , e_n}$ 是 $V$ 的一組基且 $V^*$ 上的對偶基為 ${e^1 , ldots , e^n}$ ，則立即可見此雙線性型是非退化的，因而給出了我們期待的同構，且 $e_{i_1} wedge cdots wedge e_{i_k}$ 對應的對偶基恰好就是 $e^{i_1} wedge cdots wedge e^{i_k}$ 。（另一種情形，這裡的雙線性型有一個 $1 / k!$ 的因子，不過我們先不管它）

然而我們通常也不會用 $left({igwedge}^{ullet} V ight)^*$ 這種理解，這個雙線性型，在我看來，其實就是給出了一種把 ${igwedge}^{ullet}(V^*)$ 看作多重線性反對稱函數的方式。

好了，現在有一個 $(V , J)$ ，我們通常會考慮外代數 ${igwedge}^{ullet} V_{mathbb C}$ ，容易想到它應該自然同構於 $left({igwedge}^{ullet} V ight) otimes_{mathbb R} mathbb C$ ：考慮正合列 $egin{CD} 0 @>>> I @>>> T^{ullet} V @>>> {igwedge}^{ullet} V @>>> 0 end{CD}$ ，作用 $- otimes_{mathbb R} mathbb C$ 之後仍然是正合的；但是考慮到 $V_{mathbb C} otimes_{mathbb C} V_{mathbb C} cong V otimes_{mathbb R} (mathbb C otimes_{mathbb C} V_{mathbb C}) cong V otimes_{mathbb R} V_{mathbb C} cong (V otimes_{mathbb R} V) otimes_{mathbb R} mathbb C$ 等等，能得到自然同構 $T^{ullet} (V_{mathbb C}) cong (T^{ullet} V)_{mathbb C}$ ，對於那個理想也是同樣的，故有 ${igwedge}^{ullet} (V_{mathbb C}) cong left({igwedge}^{ullet} V ight)_{mathbb C}$ 。（這裡應該畫出交換圖來，但具體就不管了）這進一步地解釋了開頭所說的「複線性延拓」，即怎麼把 $omega$ 給「復化」。

定義 ${igwedge}^{p,q} (V^*) := {igwedge}^p (V^*)^{1,0} otimes_{mathbb C} {igwedge}^q (V^*)^{0,1}$ ，那麼有顯然的映射 ${igwedge}^{p,q}(V^*) o {igwedge}^{p+q} (V^*_{mathbb C})$ ，由 $alpha otimes eta mapsto alpha wedge eta$ 給出。容易發現這一定是單射，因為用通常的基來寫有 $(z^{i_1} wedge cdots wedge z^{i_p}) otimes (ar z^{j_1} wedge cdots wedge ar z^{j_q}) mapsto z^{i_1} wedge cdots wedge z^{i_p} wedge ar z^{j_1} wedge cdots wedge ar z ^{j_q}$ ，即不同的基向量被映到不同的基向量；通常我們其實是把這個映射的像叫做 ${igwedge}^{p,q}(V^*)$ ，裡面的元素稱為 $(p,q)$ -形式，順帶看出有直和分解 ${igwedge}^k (V^*_{mathbb C}) = igoplus_{p+q = k} {igwedge}^{p,q}(V^*)$ 。顯然 ${igwedge}^{ullet , ullet} V^*$ 與其上的外積構成了一個 $mathbb Z^2$ -分次代數。

二、內積

現在考慮 $V$ 上有內積 $g$ ，那麼熟知能在 $V^*$ 上也誘導出一個內積，同樣記為 $g$ ；在外代數上也有誘導的內積。不過我們的重點在復幾何，這部分就不討論了。

所以我們考慮的是 $V_{mathbb C}$ 上的埃爾米特內積 $langle - , - angle$ ，同樣在 $V^*_{mathbb C} , {igwedge}^k (V^*_{mathbb C})$ 上有誘導的埃爾米特內積。這裡還是解釋一下外代數上的埃爾米特內積如何得到：在 $V_{mathbb C}$ 上的內積可以看做一個反線性的同構 $V_{mathbb C} o V^*_{mathbb C}$ ，那麼由函子性就得到了 ${igwedge}^{ullet} V_{mathbb C} o {igwedge}^{ullet} (V^*_{mathbb C})$ ；那麼這個怎麼看成內積呢，回憶一下前面的約定，稍微考慮一下就知道應該是 $langle alpha_1 wedge cdots wedge alpha_k , eta_1 wedge cdots wedge eta_k angle = det(langle alpha_i , eta_j angle)$ 。（請自行驗證）那麼在子空間 ${igwedge}^{p,q} (V^*)$ 上當然也誘導出了埃爾米特內積，我們都統一記為 $langle - , - angle$ 。開頭說過分解 $V_{mathbb C} = V^{1,0} oplus V^{0,1}$ 是正交的，故容易看出不同的子空間 ${igwedge}^{p,q} (V^*)$ 相對於此內積是相互正交的（容易嗎？）。

跟前面一樣取一組基，我們現在不要求標準正交基（因為通常沒這麼好的事情），於是令 $h_{ij} := h(x_i , x_j)$ ，那麼 $h(y_i , y_j) = h_{ij}$ ，而 $h(x_i , y_j) = -i h_{i j}$ 。簡單計算可知 $4 , langle z_i , z_j angle = g(x_i , x_j) + g(y_i , y_j) +i(g(x_i , y_j) - g(y_i , x_j)) = 2 g(x_i , x_j) -2i omega(x_i , x_j) = 2 h_{ij}$ ，這給出了一開頭所需要的同構。

來看一下復化後的 $omega$ ，有 $4 , omega(v otimes 1 - Jv otimes i , w otimes 1 - Jw otimes i) = omega(v , w) - omega(Jv , Jw) -i(omega(Jv , w) + omega(v , Jw)) = 0$ ，即作用在兩個 $(1,0)$ -向量上是零；同樣地，作用在兩個 $(0,1)$ -向量上也是零，故 $omega in {igwedge}^{1,1} (V^*)$ 。具體計算有 $4 , omega(z_i , ar z_j) = omega(x_i , x_j) + omega(y_i , y_j) -i(omega(y_i , x_j) - omega(x_i , y_j)) = 2 omega(x_i , x_j) + 2 i g(x_i , x_j) = 2 i h_{ij}$ ，故 $omega = frac{i}{2} sum_{i , j = 1}^n h_{i j ,} z^i wedge ar z^j = i sum_{i , j = 1}^n langle z_i , z_j angle , z^i wedge ar z^j$ 。

定義運算元 $L : {igwedge}^{ullet , ullet} V^* o {igwedge}^{ullet , ullet} V^*$ 為 $alpha mapsto alpha wedge omega = omega wedge alpha$ ，顯然這是齊次映射且 $deg L = (1,1)$ ，稱為 Lefschets 運算元。由於有埃爾米特內積 $langle - , - angle$ ，我們可以定義對偶 Lefschets 運算元 $mathit Lambda := L^*$ ，即 $langle mathit Lambda alpha , eta angle := langle alpha , L eta angle$ ，且易見 $deg mathit Lambda = (-1,-1)$ 。再定義一個運算元為 $H := igoplus_{k = 0}^{2n} (k - n) cdot mathrm{id}_{{igwedge}^k V^*_{mathrm C}}$ ，這是一個零次運算元，並且簡單計算可知，對任意 $deg A = d$ 的運算元都有 $[H,A] = d cdot A$ ，故有 $[H , L] = 2L$ 與 $[H , mathit Lambda] = -2 mathit Lambda$ 。這三個運算元當然都是實的，所以其實不需要復化也可以定義，這個對易關係還是相同的。不過，我們還是一直只考慮復的情況。

Proposition. 有 $[L , mathit Lambda] = H$ 成立。

Proof. 我們實際上可以把 $mathit Lambda$ 給「算」出來。取標準正交基，即 $h_{ij} = delta_{ij}$ ， $langle z^i , z^j angle = 2 delta^{ij}$ 。考察 $(z^i wedge -)$ 這個運算元，「熟知」它的對偶，應該是 $(2 z_i lrcorner -)$ ，或者至少可以試著驗算。（說起來我打不出來內積的符號）於是記 $A_i := frac{i}{2} , z^i wedge ar z^i wedge -$ ，則 $L = sum_{i = 1}^n A_i$ ，且 $A_i^* = -2i ar z_i lrcorner z_i lrcorner - = -2 i (z_i wedge ar z_i) lrcorner -$ 。容易看出 $i eq j$ 時有 $[A_i , A_j^*] = 0$ ，故 $[L , mathit Lambda] = sum_{i = 1}^n [A_i , A_i^*] = sum_{i = 1}^n [z^i wedge ar z^i wedge - , z_i wedge ar z_i lrcorner -]$ 。考慮一個 $(p,q)$ -形式 $alpha = z^{i_1} wedge cdots z^{i_p} wedge ar z^{j_1} wedge cdots wedge ar z^{j_q}$ ，那麼 $[A_i , A_i^*] alpha$ 等於多少呢？我們分四種情況考慮，其一是某個 $i_r = i$ 但沒有某個 $j_s = i$ ，其二是沒有某個 $i_r = i$ 但某個 $j_s = i$ ，其三是都沒有，其四是某兩個 $i_r = j_s = i$ 。仔細分析一下，對於前兩種情況都有 $A_i alpha = A_i^* alpha = 0$ 故得到零，第三種情況由 $A_i^* alpha = 0$ 得到 $- alpha$ ，第四種情況由 $A_i alpha = 0$ 得到 $alpha$ 。假設這些 $i_r$ 和 $j_s$ 中有 $a$ 個相同，那麼 $[L , mathit Lambda] alpha = (a - (n-(p+q-a))) alpha = (p+q-n) alpha$ 。這就證明了這個命題。

那麼我們已經得到了一個 $mathfrak{sl}(2,mathbb C)$ 的有限維表示，這裡 $H$ 是哈密頓量而 $L,mathit Lambda$ 分別是升降運算元，而每個有限維 $mathfrak{sl}(2,mathbb C)$ 表示都是不可約表示的直和。回憶一下 $mathfrak{sl}(2,mathbb C)$ 的 $n$ -維不可約表示，是有一個基態 $v$ 使得 $mathit Lambda v = 0$ ，然後有 $v , Lv , L^2 v , ldots$ 直到 $L^n v = 0$ 。

直接定義 $P^{ullet} := ker mathit Lambda$ ，其中的元素稱為 primitive （本原？）的，那麼由這最基本的表示理論再看一看次數立即知道：

Theorem. 有直和分解 ${igwedge}^k V^*_{mathbb C} = igoplus_{i geq 0} L^i P^{k - 2i}$ 。

但是這還不十分具體。

Lemma. 對 $alpha in {igwedge}^k V^*_{mathbb C}$ ，有 $[L^i , mathit Lambda] alpha = i (k - n + i - 1) L^{i - 1} alpha$ 成立。

這裡不證了，並不困難的計算。這可以立馬得到幾個推論：

對於 $k > n$ 的時候，考慮 $alpha in P^k$ ，總有某個最小的 $i$ 使得 $L^i alpha = 0$ ，那麼由上面引理立即得到只能 $i = 0$ ，即 $P^k = {0}$ ；
對於 $k < n$ 的時候，考慮非零 $alpha in P^k$ ，那麼由上面引理立即得到：當 $i leq n - k$ 的時候 $L^i alpha$ 都是非零的（歸納），故 $L^i$ 限制在 $P^k$ 上是單射，而 $mathit Lambda L^{n - k +1} alpha = 0$ ，由上一條知道 $L^{n - k +1} alpha = 0$ ；
所以上面那個分解可以再寫細一點。對於 $k < n$ ，我們有 ${igwedge}^{2n-k} V^*_{mathbb C} = igoplus_{i geq 0} L^i P^{2n-k - 2i} = igoplus_{i geq n - k} L^i P^{2n-k - 2i}$ ，因為由上一條知道這些直和項非零的一個必要條件是 $i leq n - (2n - k - 2i)$ ，即 $i geq n - k$ 。那麼令 $i = n - k + j$ ，則 ${igwedge}^{2n-k} V^*_{mathbb C} = igoplus_{j geq 0} L^{n-k+j} P^{k - 2j} = L^{n-k} {igwedge}^k V^*_{mathbb C}$ ，即