實對稱矩陣的對角化

實對稱矩陣是線性代數應用最廣泛的特殊矩陣之一，筆者之前做的代數圖論研究用到的無號拉普拉斯矩陣就是實對稱矩陣。

實對稱矩陣一定能對角化這個問題不是那麼明顯就能得到答案的。A是否可以對角化呢？存在一個可逆矩陣P使得P^(-1)AP成為對角矩陣。一個自然的推論，如果A有n個不同的特徵值，那麼A一定可以對角化。然而實對稱矩陣卻不一定擁有n個不同的特徵值。證明需要用到不變子空間。大家可以參考這個鏈接，不變子空間──解構線性運算元的利器 我這裡截圖了：

不變子空間提供了一個研究矩陣（運算元）的途徑，只要知道這個運算元在各個互不相交的子空間的行為就可以知道這個運算元在全部空間的行為。

回到證明，同樣的，證明可以參考這個鏈接，實對稱矩陣可正交對角化的證明 這裡截圖了

：

而B1也是實對稱的，可以繼續做同樣的分解，最後可以得到一個正交矩陣Q，Q可以將A對角化，也可寫成譜定理的形式：

最後想說，提供鏈接的博客來自於台灣，這個博客的質量很高，值得關注，可能對於一些人來說，這篇文章最大的價值就是介紹了這個博客。

同發於微信公眾號：純真學者出神入化 RPIBMEPhD

推薦閱讀：