路徑積分表述，與格點正規化

05-08

目錄：

量子場論（6）

量子場論（7）

第一部分小結

量子場論（8）

本次內容：給出與Wightman axioms與Locality axioms等價的Path integral axioms，簡單討論格點上場論的基本概念。

（基本概念就不再重複了，這裡默認大家已經熟知物理上通常對路徑積分的導出方法，即插入完備性條件對 $langle q|e^{-ihat{H}t/hbar} | q angle$ 做變形，基本相當於Peskin的9.1與9.2節的內容或者任何一本量子力學教材中關於路徑積分的內容。以及GTM267第20章的內容，即用Trotter product公式對酉運算元群 $U(t)=e^{-ihat{H}t/ hbar}$ 變形得到泛函積分的表達式，並利用解析延拓 $t o -it$ 轉到歐幾里得場論去定義Wiener measure。）

1，Path integral axioms：

在之前的文章中我們討論了量子場論的Wightman axioms與Locality axioms，整個第一部分的思路就是按照Wightman axioms給出的，即我們考慮滿足狹義相對性原理的單粒子態，然後對於多粒子問題考慮相應的Fock space，最後就可以很自然的得到Wightman axioms。同理，如果我們從量子系統滿足光速不變原理出發，也可以在物理上很自然的得到Locality axioms。

而對於路徑積分，我們也可以考慮類似的操作，從最基本的物理概念出發去構造這種表述，使得它在邏輯上看起來是非常自然的。但是，我不想在這裡花費太多的時間。這裡僅僅給出Path integral axioms的結果，它和其他兩種表述是嚴格等價的。

為了方便討論，我們對所要用到的符號做一些必要的說明：

test function的空間為： $mathscr{D}(R^d)=C^{infty}_0(R^d)$ ，

相應的distribution對應的空間為： $mathscr{D}^*(R^d)$ ，這在物理上對應路徑 $q$ 或場量 $phi$ 存在的空間，

$mathscr{D}^*(R^d)$ 上的Feynman-Kac measure： $dmu$ ，

Fock space及其稠密子空間： $mathscr{F}$ 與 $mathscr{F}_0$ 。

在開始之前，我們需要下面這個重要的定理：設 $Sleft{ f ight}$ 是 $mathscr{D}(R^d)$ 上的泛函，且滿足如下三個條件：

（1）若 $f_n o f in mathscr{D}(R^d)$ ，則： $Sleft{ f_n ight} o Sleft{ f ight}$ 。

（2）對任意 $f_iin mathscr{D}(R^d),c_iin C$ ， $sum ar{c}_ic_jSleft{ f_i-ar{f}_j ight}geq0$ 。

（3） $Sleft{ 0 ight}=1$ 。

則：存在唯一的 $mathscr{D}^*(R^d)$ 上的測度 $dmu(phi)$ ，且滿足： $Sleft{ f ight}=int e^{iphi(f)}dmu(phi)$ 。

可見，對應 $d=1$ 的情況，場量 $phi$ 的空間 $mathscr{D}^*(R^d)$ 便簡化為路徑 $q$ 的空間 $mathscr{D}^*(R^1)$ ，這裡的 $Sleft{ f ight}$ 稱為generating functional。下面我們給出Path integral axioms的具體內容：

公理（1）：對任意 $f_jinmathscr{D}(R^d)$ ， $j=1,2,...,N$ ，和矢量 $z=(z_1,..,z_n)in C^N$ ， $z o Sleft{sum_{j=1}^{N}z_jf_j ight}$ 是 $C^N$ 上的函數。這也就是要求，測度 $dmu$ 要衰減的比任何指數都快。

註：如果測度 $dmu$ 滿足公理（1），那麼我們就可以得到如下重要推論：存在distribution $S_n(x_1,...,x_n)inmathscr{D}^*(R^d)$ ，使得： $int phi(f_1)... phi(f_n)dmu=int S(x_1,...,x_n)prod_{i=1}^{n}f_i(x_i)dx$ 。這裡的 $S_n(x_1,...,x_n)inmathscr{D}^*(R^d)$ 就是所謂的Schwinger函數。

公理（2）： $Sleft{ f ight}$ 對於 $1leq p leq2$ ，以及常數 $c$ ，滿足： $left| Sleft{ f ight} ight|leq exp c left( left|left| f ight| ight| _{L^1}+ left| left| f ight| ight|_{L^p}^p ight)$ 。

註：這裡若 $p=2$ ，這個公理的存在是為了保證兩點編時格林函數的存在，其只有在 $x=y$ 時才存在唯一奇點。而且，如果 $Sleft{ f ight}$ 滿足公理（2），我們還可以得到Schwinger函數 $S_nin L^1(R^{nd})$ 。

公理（3）： $Sleft{ f ight}$ 在歐式變換下具有不變性，即： $Sleft{ Ef ight}=Sleft{ f ight}$ ，等價的測度 $dmu$ 具有不變性，即： $dmu=Edmu$ 。這條公理不用多說，它對應著閔氏時空中的場論具有洛倫茲對稱性。

公理（4）：為了方便起見，在討論這條公理之前，我們需要先做一些準備。

定義集合： $mathscr{A}=left{ A(phi)=sum_{j=1}^{N}c_jexp(phi(f_j)),c_jin C,f_jin mathscr{D} ight}$ ，很顯然，其中元素是映射 $mathscr{D}^*(R^d) o C$ 。記 $R^d_{+}=left{ mathbf{x},t;t>0 ight}$ ，若將 $mathscr{A}$ 中元素限制為： $f_jin C_0(R^d_+)$ ，我們可以得到子集 $mathscr{A}_+subsetmathscr{A}$ 。由此，公理（4）的具體內容為：在時間反演 $T:(mathbf{x},t) o (mathbf{x},-t)$ 下有： $left( TA,A ight)_{L^2}geq 0$ ，等價的，矩陣 $M_{ij}=Sleft{f_i-Tf_j ight}$ 是正定的。

註：利用這條公理我們可以構造出我們熟悉的多粒子態Hilbert space $mathscr{F}$ ，具體步驟如下：集合 $mathscr{A}$ 的包閉為： $varepsilon=L^2(mathscr{D}^*(R^d),dmu)$ ，相應的我們可以定義 $varepsilon_+$ 對應 $varepsilon$ 中由 $mathscr{A}_+$ 中元素張成的集合。定義 $mathscr{N}$ 為 $varepsilon_+$ 中滿足 $left( TA,B ight)_varepsilon=0$ 的矢量的集合。由此我們可以定義商集 $mathscr{F}=varepsilon_+/mathscr{N}$ 就是我們之前熟悉的多粒子Hilbert space。

公理（5）：對於函數 $A(phi)in L^1$ ，滿足： $lim_{t ightarrow infty}frac{1}{t}int_0^t T(s)A(phi )T(s)^{-1}ds=int A(phi) dmu(phi)$ ，這等價於 $T(s)$ 具有遍歷性。它的物理意義在於，這裡的遍歷性假設可以唯一的確定 $mathscr{F}$ 中的vacuum $| Omega angle$ 。

數學上可以嚴格給出，如果測度 $dmu$ 滿足以上幾個基本假設，那麼等價的我們就可以給出Wightman axioms與Locality axioms，具體細節可以參考quantum physics a functional integral point of view的第19章。

2，格點上的場論：

現在考慮一種可以避開泛函分析中諸多結論的處理方法，我們隨便觀察一個生成泛函 $Z[J]=int expleft[iint d^4x (mathscr{L}+Jphi) ight]Dphi$ 的表達式就容易發現，關於量子場論（量子力學）中的路徑積分理論，必定會牽扯到很多泛函分析中的結論和概念，因為它牽扯的無窮維函數空間上的積分。這裡一個不錯的辦法是在這裡引入格點正規化，一來我們可以避開泛函分析中的結論，二來藉此我們可以直接考慮正規化之後的場論。現在假設我們的場論並不定義在整個時空上，而是定義在有限範圍時空中分立的格點上。設格點直接間距為 $varepsilon$ ，而時空區域的範圍為 $L$ 。當我們取 $varepsilon o 0$ 時就可以得到有限時空上的連續場論；而取 $L o infty$ 時就可以得到統計力學。

之前我們的場量 $phi$ 為時空上的函數，即 $phi:R^4 o R$ ，現在我們將其限制在格點上，記格點的集合為 $Gamma$ 其中一共有 $N$ 個元素（對應時空上的 $N$ 個格點）。這時的場量變為 $phi:Gamma o R$ ，很顯然場量的集合 $F=left{ phi:Gamma o R ight}$ 同構於 $R^N$ 。無窮維函數空間上的積分是相對複雜的，但是格點上場量的積分就等價於 $R^N$ 上的積分，這是我們再熟悉不過的東西。

我們熟悉的高斯積分的表達式為： $int_R e^{-frac{a}{2}x^2+bx}dx=e^{frac{b^2}{2a}}sqrt{frac{2pi}{a}}$ ，現在考慮 $R^N$ 上的高斯積分公式， $int e^{-frac{1}{2}(phi,Aphi)+(J,phi)}d^Nphi=det(2pi C)^{frac{1}{2}}$ 。其中， $A$ 為對稱正定實矩陣， $C=A^{-1}$ ， $J,phiin R^N$ ，括弧表示 $R^N$ 上的內積。藉此，我們可以定義 $R^N$ 上的高斯測度為： $dmu_C(phi)=(det2pi C)^{-frac{1}{2}}e^{-frac{1}{2}(phi,C^{-1}phi)}d^Nphi$ ， $int dmu_C(phi)=1$ 。

藉此，我們可以給出格點上的生產泛函： $Z[J]=int D_Gamma phi e^{-S_Gamma (phi)+(J,phi)_{Gamma}}$ ，其中： $D_{Gamma}=prod_{xin Gamma}dphi(x)$ 。著很顯然就是 $R^N$ 上的一個積分表達式，剩下的操作就是我們高數中熟悉的操作。相應的n點關聯函數可以表示為： $left[frac{1}{Z[J]}frac{delta^n}{delta J (x_1)...delta J (x_n)}Z[J] ight]_{J=0}$ ；而相應力學量的真空期望值可以表示為： $frac{1}{Z[0]}int D_{Gamma}phi e^{-S_Gamma}O(phi)$ ，其中 $frac{delta}{delta J(x)}=varepsilon^{-d}frac{partial}{partial J(x)}$ 。

考慮 $phi^4$ 理論中路徑積分的微擾展開 $int dmu(phi)e^{lambdaint_{Gamma}phi(x)^4dx}=1+lambdaint_{Gamma}dxint dmu(phi)phi(x)^4+cdotcdotcdot$ ，很顯然，其中 $int dmu(phi)phi(x)^4=3D_{Gamma}(x,x)^2$ ，這裡 $varepsilon o0$ 時 $D_{Gamma}(x,x)$ 變為通常連續場論中的傳播子，而傳播子唯一的起點就在 $x=y$ 處，很顯然路徑積分中的微擾展開在極限 $varepsilon o0$ 也是發散的。一種避免發散的做法是引入Wick ordering 例如： $:phi(x)^2:=phi(x)^2-D_{Gamma}(x,x)$ ，當然，對於 $d>2$ 的情況，Wick ordering無法避免所有發散，這裡的另一種方法就是去引入重整化來避免發散。

（圖侵刪）