高等代數筆記整理（二）

05-08

大家好！

上一節我們重點介紹了高等代數的主線（研究線性空間的結構），並沿著這條思路進行了一定的探討，今天我們將繼續沿著這條主線探討下去，在本節中，你會看到一些在線性空間中更為深刻的東西。

那麼我們就開始吧！

線性相關與線性無關（下）

在上一節中，我們留下了一個極為關鍵的問題，那就是同一個向量組不同的極大線性無關組之間有什麼關係，並根據一個具體例子猜測它們所含向量的個數相同。

今天我們來看看它們是否真的相同。

證明之前，我們需要先給出兩個引理。

Lemma 1

$delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 線性相關 $Rightarrow exists j in left{ 1,2,cdots,t ight}$ ,使得

(a) $delta_{j}$ 可以由 $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{j-1}$ 線性表出

(b) $left{ delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t} ight} cong left{ delta_{1},cdots,delta_{j-1},delta_{j+1},cdots,delta_{t} ight}$

Proof

先來證明(a)

由 $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 線性相關我們知道，在 $K$ 中存在不全為零的t個數 $k_{1},k_{2},cdots,k_{t}$ ,使得

$k_{1} delta_{1}+k_{2} delta_{2}+cdots+k_{t} delta_{t}=0$

我們令j是 $left{1,2,cdots,t ight}$ 中最大的使 $k_j e 0$ 的數，則有 $k_{1} delta_{1}+k_{2} delta_{2}+cdots+k_{j} delta_{j}=0$

於是 $delta_j=left( - frac{k_1}{k_j} ight)delta_1+left( - frac{k_2}{k_j} ight)delta_2+cdots+left( - frac{k_{j-1}}{k_j} ight)delta_{j-1}$ ，這就證明了(a)。

下面我們來看(b)

其實這是顯然的，因為首先 $left{ delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t} ight}$ 一定可以線性表出 $left{ delta_{1},cdots,delta_{j-1},delta_{j+1},cdots,delta_{t} ight}$ ，然後由(a)就知道 $left{ delta_{1},cdots,delta_{j-1},delta_{j+1},cdots,delta_{t} ight}$ 可以線性表出 $left{ delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t} ight}$ ，於是它們等價。

Lemma 2

向量 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r},delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 都是向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的向量，如果 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性無關， $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的一個極大線性無關組，那麼 $r leq t$ 。

Proof

因為 $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的一個極大線性無關組， $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的向量，所以 $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 可以線性表出 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 。

於是 $eta_1,delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 是線性相關的（理由可上一篇中參照極大線性無關組的第一個定義），這樣，由Lemma 1可以知道，存在 $j in left{ 1,2,cdots,m ight}$ ,使得

$left{ delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t} ight} cong left{eta_1, delta_{1},cdots,delta_{j-1},delta_{j+1},cdots,delta_{t} ight}$

我們可以繼續下去這個過程（因為 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{j}$ 是線性無關的所以踢出去的向量一定在 $delta$ 里）

我們假設 $t > r$ (一定存在 $eta_{t+1}$ ),那麼經過t次這樣的過程，就有

$left{ delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t} ight} cong left{eta_1, eta_2,cdots,eta_t ight}$ ,又因為 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性無關，所以 $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 就不能線性表出 $eta_{t+1}$ ，這與 $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組矛盾，故 $t leq r$ 。

OK，有了這兩個強力的武器，我們就能證明我們最初想要證明的結論了（即同一向量組的不同極大線性無關組所含向量個數相同）。

Theorem

假設 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 與 $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 都為 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組，則有 $r=t$ 。

Proof

因為 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性無關， $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組，由Lemma 2 ， $r leq t$ ,同理可以證明 $tleq r$ ,於是 $r=t$

這就證明了我們想要的！

注意，這個定理是相當深刻的，它揭示了同一向量組的不同極大線性無關組所含向量個數是相同的！

有了這個定理，我們就可以引入向量組秩的概念了。

向量組的秩（Rank）

Def：向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組所含的向量個數稱為這個向量組的秩，記作 $rank left{ alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s} ight}$

注意，如果他們不相同，是不能定義秩的，這個概念就意味著很多時候一個數字就能夠刻畫一個向量組的一些性質，這就好比面積能夠從度量的角度刻畫一個二維圖形一樣。

這個東西是很厲害的，下面我們簡單列出幾個有關秩的性質來試試它的威力。

Prop

1.向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關 $Leftrightarrow$ $rank left{ alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s} ight} =s$

proof：向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關 $Leftrightarrow$ $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組是它自身 $Leftrightarrow$ $rank left{ alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s} ight} =s$

2. $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{t}$ 可由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出 $Rightarrow$ $rankleft{ eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{t} ight} leq rank left{ alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s} ight}$

從這個性質可以立即得到一個推論

Corollary：等價的向量組具有相同的秩。

看起來我們已經完成它了。

However（詭笑臉）

別忘了我們的初衷是啥啊！

我們要研究的可不是簡簡單單的一個向量組，而是通常都具有無限個向量的向量空間啊！

我們之所以研究要研究線性表出，正是為了找到一個向量空間的核心，然後通過這個核心來表示整個向量空間。

我們之前所做的，只是找到了向量組「核心」，並揭示了向量組各個不同的「核心」所具有的共同性質而已。

其實也不必要喪氣，了解了前面的方法之後，我們只需要推廣一下就可以得到我們想要的東西了。

再更進一步之前，我們先給出另一個比較重要的概念作為鋪墊。

子空間（Subspace）

Def：W是V的一個子空間 $Leftrightarrow$

W非空。（這點很容易被忽略！）
W是V的一個子集。
W對於V上的加法與數量乘法封閉。

這裡第二條的意思是

$forall alpha,eta in W,alpha + eta in W$
$forall alphain W,kin K,k alpha in W$

實際上這裡的W也是一個向量空間。（向量空間的定義已在第一篇中更正過來，多謝看官指正！）

下面給出幾個特殊的子空間

1.零子空間

Def：只含有零向量的子空間。（易驗證 $left{ 0 ight}$ 是一個子空間）

實際上任一子空間都含有零向量，故要證明W是非空只需證明W含有零向量。

2.V本身也是V的一個子空間

由於對於任意一個向量空間V，它總能有這兩個子空間，於是我們稱這兩個子空間是平凡的，而V的其他子空間我們則稱為是非平凡的。

另外，同樣容易證明，由任一向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 全部線性表出的向量組成的一個集合 $left{ k_{1}alpha_{1}+ k_{2}alpha_{2}+cdots+ k_{s}alpha_{s},k_1 ,k_2 ,cdots,k_s in K ight}$ 是一個子空間。

在不會引起誤會的情況下，我們把它簡記為 $<alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}>$ ,稱為由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 生成（或張成）的子空間。

基與維數（Basis and Dimension）

與向量組的極大線性無關組類似，我們引入子空間基的概念。

Def： $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 是子空間W的一個基（注意不是一組基！） $Leftrightarrow$

$alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s} in W$
$alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關
$W$ 中的每個向量都能由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出

這裡的第三個條件可以等價為：任取W中不在 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的向量 $eta$ 添入原向量組得到的新向量組 $eta,alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性相關。

這個證明不難，我們把它作為練習留給大家。

同樣的，我們可以證明子空間不同基所含的向量個數全部相同。

這裡的證明方法與以上極大線性無關組的證明完全類似，這裡不在贅述，同樣作為練習留給大家。

這樣，我們就可以定義子空間中與向量組的秩類似的概念，即子空間的維數。

Def：子空間W的基所含向量的個數稱為W的維數，記作 $dimW$ 。

別忘了，子空間也是一個向量空間，這樣我們就可以提煉出一個向量空間的「核心」了！

下面給出幾個基與維數的簡單性質

Prop

1.子空間的任意兩個基等價。

2.若 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 是W的一個基，則 $rank left{ alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r} ight}=dimW=r$

3.若 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 是W的一個基，則 $W=<alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}>$

4.向量組 $varepsilon_1=left( egin{array}{} 1 \ 0\ vdots \ 0 end{array} ight), varepsilon_2=left( egin{array}{} 0 \ 1\ vdots \ 0 end{array} ight), cdots, varepsilon_n=left( egin{array}{} 0 \ 0\ vdots \ 1 end{array} ight)$ 是 $K^{n}$ 的一個基。

proof：我們先來證明 $varepsilon_{1},varepsilon_{2},cdots,varepsilon_{n}$ 線性無關。

我們設 $k_1varepsilon_1+k_2varepsilon_2+cdots+k_nvarepsilon_n=0$ ,則有 $left( egin{array}{} k_1 \ k_2\ vdots \ k_n end{array} ight)=0$ ,於是， $k_{1}=k_{2}=cdots=k_{n}=0$ ,根據線性無關的定義， $varepsilon_{1},varepsilon_{2},cdots,varepsilon_{n}$ 線性無關。

然後我們來證明 $K^n$ 中的任一向量都能由 $varepsilon_{1},varepsilon_{2},cdots,varepsilon_{n}$ 線性表出。

這也是顯然的，因為我們任取 $alpha=left( egin{array}{} a_1 \ a_2\ vdots \ a_n end{array} ight) in K^n$ ,都有 $alpha=a_1varepsilon+a_2varepsilon_2+cdots+a_nvarepsilon_n$ .

這就證明了 $varepsilon_{1},varepsilon_{2},cdots,varepsilon_{n}$ 是向量空間 $K^n$ 的一個基，因為這個基比較特殊，我們給它起個名字，稱為向量空間 $K^{n}$ 的標準基。

此時，我們稱有序數組 $left( egin{array}{} a_1 \ a_2\ vdots \ a_n end{array} ight)$ 是向量 $alpha$ 在基 $varepsilon_{1},varepsilon_{2},cdots,varepsilon_{n}$ 下的坐標（coordinate）。

同樣地，我們可以定義 $K^n$ 中的向量在任一基下的坐標。

Def：任取 $K^{n}$ 的一組基 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{n}$ ，若對於 $alpha in K^{n} , alpha=x_{1}alpha_{1}+x_{2}alpha_{2}+cdots+x_{n}alpha_{n}$ ,則稱有序數組 $left( egin{array}{} x_1 \ x_2\ vdots \ x_n end{array} ight)$ 是向量 $alpha$ 在基 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{n}$ 下的坐標。

為了使這個定義合理些，我們來證明 $forall alpha in K^{n}$ 與 $K^{n}$ 的一組基 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{n}$ ，, $alpha$ 在這組基下的坐標唯一。

proof:證明唯一性的問題我們往往用反證法。

假設向量 $alpha$ 在基 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{n}$ 下有兩個不同的坐標 $left( egin{array}{} x_1 \ x_2\ vdots \ x_n end{array} ight)， left( egin{array}{} y_1 \ y_2\ vdots \ y_n end{array} ight)$ ，根據坐標的定義，我們有

$alpha=x_{1}alpha_{1}+x_{2}alpha_{2}+cdots+x_{n}alpha_{n} ag{1}$

$alpha=y_{1}alpha_{1}+y_{2}alpha_{2}+cdots+y_{n}alpha_{n} ag{2}$

(1)-(2),我們得到

$0=left(x_{1}-y_{1} ight) alpha_{1}+left(x_{2}-y_{2} ight) alpha_{2}+cdots+left(x_{n}-y_{n} ight) alpha_{n}$ 。

因為 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{n}$ 是 $K^n$ 的一個基，所以它線性無關，於是 $left( x_{1}-y_{1} ight)=left( x_{2}-y_{2} ight)=cdots=left( x_{n}-y_{n} ight)=0$ 。

這樣，我們就有 $x_{1}=y_{1},x_{2}=y_{2},cdots,x_{n}=y_{n}$ ，這與 $left( egin{array}{} x_1 \ x_2\ vdots \ x_n end{array} ight) e left( egin{array}{} y_1 \ y_2\ vdots \ y_n end{array} ight)$ 矛盾。

這就證明了向量空間中的向量在其任一個基下的坐標唯一（它還有另外一種表述方法，即向量空間的任一向量在其選定的基上表出方式唯一），因此我們對坐標的定義是合理的。

第一個性質有一個小推論。

Corrollary： $dimK^{n}=n$ 。

這就是我們把 $K^{n}$ 稱為n維向量空間的原因。

5.設 $dimW=r$ ，則W中任意 $r+1$ 個向量組成的向量組都線性相關。

為了證明方便，我們把上面的Lemma 2推廣一下

Lemma 2 的推廣：

向量 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r},delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 都是子空間W中的向量，如果 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性無關， $delta_{1},delta_{2},cdots,delta_{t}$ 是W的一個基，那麼 $r leq t$ 。

證明方法與Lemma 2完全類似。這裡不再贅述，有興趣的同學可以自己證明一下作為練習。

下面我們給出這條性質的證明。

proof：這裡我們使用反證法。

假設 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r+1} in W$ ，且 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r+1}$ 線性無關

由 $dim W=r$ ，我們可設W的一個基為 $eta_{1}.eta_{2},cdots,eta_{r}$ ，由Lemma 2的推廣可知， $r leq r+1$ ，這顯然是矛盾的，於是W中任意 $r+1$ 個向量組成的向量組都線性相關。

Corollary 1：設 $dimW=r$ ，則W中任意多餘r個向量組成的向量組都線性相關。

6.設U和W都是向量空間， $U subset W$ ，則 $dimU leq dimW$

proof：

分別設 $U$ 與 $W$ 的一個基為 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 和 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{t}$ 。

因為 $U subset W$ ，所以 $W$ 的基 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{t}$ 可以線性表出 $U$ 的全部向量，又因為 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s} in U,alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關，所以，由Lemma 2得 $t leq r$ 。

這就證明了 $dim U leq dimW$

特別地，設W是 $K^{n}$ 的一個子空間，則有 $dimW leq dim K^{n} =n$ 。

7.設 $W$ 和U都是 $V$ 的子空間， $dimW=dimU$ ，且 $U subset W$ ，則 $W=U$

proof：設 $dimW =dimU=r$ ，在 $U$ 中取一個基 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ ，則 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 線性無關

因為 $U subset W$ ，所以 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r} in W$

這裡先提前用一下一個基的判定定理（下面會馬上提到，即設 $dim W=r$ ，則 $W$ 中任意 $r$ 個線性無關的向量都是 $W$ 的一個基。）

於是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 是 $W$ 的一個基，從而由性質3知 $W=<alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}>=U$

特別地，設 $W$ 和是 $V$ 的子空間， $dimW=dimV$ ，則 $W=V$

這是基與維數的幾個性質，下面我們再來看看它的判定定理（即一個向量組滿足什麼條件就是一個子空間的基了）

Judging Theorem

1.設 $dim W=r$ ，則 $W$ 中任意 $r$ 個線性無關的向量都是 $W$ 的一個基。

proof：任取 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r} in W$ 且線性無關。

我們現在只需證明 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 滿足基定義的第三條。

則由上面性質5知，任取一個 $W$ 中不屬於 $left{ alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r} ight}$ 的一個向量，向量組 $eta,alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 線性相關。

而這正是我們上面基的定義中第三條的等價條件，於是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 是 $W$ 的一個基。

2.設 $dimW=r$ ， $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r} in W$ ,向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 可以線性表出 $W$ 中的全部向量，則 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 是 $W$ 的一個基。

proof

由 $dim W=r$ ，我們可以設向量組 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 是 $W$ 的一個基，由條件知道 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 可以線性表出 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ ，於是 $<eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}>subset<alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}>$ 。

由上面的性質2和性質6我們可以得到。

$r=rankleft{ eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r} ight}=dim<eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}>leq dim<alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}>leq r=dimW$

於是 $rank left{ alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r} ight}=r$ ，因此 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 線性無關，由第一個判定定理我們就證明了 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{r}$ 是 $W$ 的一個基。

小結

好了，這就是我們今天的全部內容了，總結一下，我們今天主要講了兩個概念，向量組的極大線性無關組和子空間的基，然後基於這兩個概念給出了一些性質以及判定定理。

基於這個角度，基就好比是細胞的DNA，而向量空間就是由DNA生成的整個細胞甚至個體。

這個東西是相當厲害的，也是相當有用的，為了讓大家見識一下它的威力，作為牛刀小試，下一篇我會先講一點它在解線性方程組上的應用，也算是暫時偏離下我們研究線性空間結構的主題，作為一個驛站停歇一下節奏。

也希望可以通過它的應用加深一下大家對本篇上的理解，之後我們會從更多的角度來研究向量空間的結構。

下面是本篇的一些練習以及上篇練習的答案。

Exercise

設 $alpha_{1},alpha_{2},alpha_{3},alpha_{4}$ 是向量空間 $V$ 的一個基，求證 $alpha_{1}-alpha_{2},alpha_{2}-alpha_{3},alpha_{3}-alpha_{4},alpha_{4}$ 也是 $V$ 的一個基。
證明子空間 $W$ 的不同基所含向量個數相同。
求證：子空間 $W$ 中的每個向量都能由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出 $Leftrightarrow$ 任取 $W$ 中不在 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的向量 $eta$ 添入原向量組得到的新向量組 $eta,alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性相關

下面是上一篇習題的一些提示或答案

嘗試證明向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關 $Leftrightarrow$ $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中任一向量不可由該向量組中其他向量線性表出。（這題用反證法即可，假設 $alpha_j$ 可由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出，顯然它是線性相關的，反過來同樣用反證法即可）
證明只要表出方式不唯一就有無窮多種表出方式。（通過向量 $eta$ 在向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 下表出方式不唯一可以證明他們線性相關，然後即可以證明表出方式有無窮多種了）
試求向量組 $alpha_{1}=left( egin{array}{}- 1\ 3 \ 2\ 0 end{array} ight),alpha_{2}=left( egin{array}{} 4\ 1 \ 2\-3 end{array} ight),alpha_{3}=left( egin{array}{} 6\ 2 \ 4\-2 end{array} ight),alpha_{4}=left( egin{array}{} 3\-2 \ 0\ 1 end{array} ight)$ 的一個極大線性無關組。（這題只需要按照上篇的方法一個個添向量就OK了）
設向量組 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 可以由向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出，如果 $r >s$ ,那麼 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性相關。（這實際上就是本篇Lemma 2的逆否命題）

呼……零零散散寫了一天，加上之前的構思，終於把這篇筆記寫完了，果然在網上寫筆記不是一個輕鬆活啊，好在後面要寫的數分筆記不需要自己構思筆記大綱了。

啊對，這裡先做個預告，從這個星期開始，我要在專欄里更新數分的筆記了，但是因為不會再重新構想思路，所以更像是一個抄書筆記，但是我會盡量寫得更通俗簡略一點，時不時也會補充一些自己的想法或者其他一些有趣的東西。

但是要提前說好啊，作為數分教材，Rudin的《Mathematical Analysis》的觀點是比較高的，雖然我會盡量寫的通俗一點，但是最好還是有一定的數分或者高數基礎。（大神請自動忽略此段）

emmmmm高代筆記還沒整理完，又要開始寫數分筆記了，也算是給自己這個鹹魚加加壓了，我會儘力每星期各更新一篇，如果實在趕不過來更新的話我會提前通知大家。

碼字不易，歡迎各位看官點贊收藏多謝讚賞支持！

最後，任何筆記都具有著作權，未經同意不得剽竊或轉載。

高等代數筆記整理（二）

目錄

線性相關與線性無關（下）

向量組的秩（Rank）

子空間（Subspace）

基與維數（Basis and Dimension）

小結