債券 與 定價

今天淺析債券中最基本的bullet fixed bonds，即本金只能在maturity償還的固定息票的債。

對於所有的interest products，利率r 固然是fair value最重要的一個影響因子；正如「債有主」所說的，發行債券的issuer是其次最重要的因子，我們用z-spread來度量（measure）。下面從利息的term structure，應計利息 accrued interest以及z-spread豐富對債券的認識。

任何債券的定價，最終都決定於發行人與對應tenor所屬的risk spread (比如z-spread)。

(微信公眾號 cadlag)

一、概述

我們知道，一個為期T年，本金為N，市場利率為r的無風險的零息債券的價格為

一個為期T年，本金為N，市場利率為r的無風險帶息C債券的價格為

即一個債券的價格就是其未來所有的現金流Cash flow與其相對應的折價因子dicountfactor的乘積的和

如何確定discount factor，市場上有以下三種折價方式：

• Money market：線性折價，tenor一般短於1年；
• Capital market：離散折價，tenor一般長於一年；
• Option market：連續折價

如下圖所示：

不同的折價（生息）方式，代表這不同的複利頻率reset frequency。

Interest term structure告訴我們，每個tenor說對應的年化利息是不一樣的。也就是說，半年的年化利息r_1跟1年的年化利息r_2是不一樣的。這就涉及到interest rate curve的interpolation。正常情況下對於時間短於一年的interpolation我們直接用線性求，長tenor的我們可以用高維度spline（多項式）進行估值。的假如我們知道市場上Euribor 1年跟2年的利率，我們怎麼求？（已知兩點，求直線方程式）

Interest term structure同時也告訴我們，即使時間長度tenor一樣長，但是時間點不一樣，其利率也是不一樣的，即如何估值forward interest的問題

根據不同的discount方法，我們有三種計算方式

其中 r_i我們稱之為zero rate。

二、實際應用

我們從網路上看一下彭博社終端機某個債券的主要信息。

（圖片來自網路）

• 發行人 issuer
• 票息率coupon
• 付息頻率 coupon frequency
• 計息日期原則 day count convention，act/360,act/365,act/act
• 到期日期 maturity
• 貨幣 currency
• 等級 rank，在default event時償還的優先等級 covered=secured > senior unsecured > subordinated
• 評級 bond ratings

正如我們對任何項目金融產品的投資，所關心的無外乎我可以收到多少錢，我冒多大的風險。用數字描述的基本跟收益有關（票息率，計息日原則，付息頻率，到期日期），其他的基本跟風險有關（等級，評級，發行人）。市場上可以在交易所買賣的債券基本都帶有評級的，少數是沒有評級的。美帝三大評級巨獸壟斷了評級市場，為了挑戰市場，黨去年年底在港交所發行20億無評級美元主權債券，可以說是年底炒得熱騰的新聞了。

接下來我們從代表收益的interest rate和代表風險的spread說起。

我們從概述里知道，interest rate是一個與時間有關的函數（term structure），以及一個富有空間的「無風險」的修飾詞。2008年金融危機期間，libor利率變得不穩定，libor利率與隔夜指數掉期OIS的利差擴大，人們開始反思到底哪個利率可以代表「無風險利率」。一般認為，OIS(overnight indexed swap)比libor更能代表無風險利率。但是，一般沒特別說明，我們用6個月期的Libor/Euribor/Shibor為無風險利率。在forward rate上的interest curve 跟其複利頻率（reset frequency）保留一致。市場上對bond的quote一般是clean價格，即不包含未付的應計利息 accrued interest。接下來我們來簡單的算算一個無風險債券的clean價格：

通過excel計算如下

其公式如下，其中interest rate按照最簡單的線性interpolation

接下來我們談談如何確定用spread(z-spread)或簡單稱curve來表述債券發行人的違約風險。其中，最好這個spread/curve就是該issuer的；假如市場上該issuer發行的債券比較不受歡迎，不liquid，我們次之用這債券在他所在行業industry所對應的評級（債券評級）來代表該債券的風險；再如果恰好沒有債券評級，我們用該issuer同一rank的評級代表該債券的評級。如果我們已經有了該債券的z-spread，想要再確認其大概期間的話，我們可以用改issuer的同一tenor的cds的spread來比較。理論上cds的synthetic spread與bond的z-spread（與cds區分叫cash spread）應該一樣，但是由於cds一般有固定的recoveryrate而實際的bond卻沒有固定的recovery rate，所以即使其違約風險一樣，根據

得到其各自表達的spread的大小不一定一致。如果我們知道了其市場上的z-spread，一般用Constant Hazard Rate來計算其spread curve，即發生違約事件服從強度lambda不變的泊松分布，我們稱這個參數lambda為hazard rate。

有了counterparty risk的債券的定價我們就多了個市場參數 z-spread，即

對於z-spread如何從市場上一個fixedbond推導,我們通過一個簡單的代碼代替複雜過程，並且結束今天對債券簡單的認識。

在以後的推文具體介紹金融產品的基石curve的推導估值。

參考文獻：

The handbook of fixed income securities, Frank Fabozzi

關於作者，佛系九〇青年，法蘭克福大學數學系專業，日常打理Q-Quant內容，FRM小白。

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