SPC系列6：R和s的控制限為什麼不是+/-3sigma的格式？公式中的係數D3，D4，B3，B4是怎麼來的？

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在對一個製造過程實施SPC的時候，需要計算控制限以建立控制圖。例如，如果採用的是 $ar{X}-R$ 控制圖， $ar{X}$ 和 $R$ 的控制限分別如下：

$UCL_{ar{X}}=ar{ar{X}}+A_{2}ar{R}$ （公式1）

$LCL_{ar{X}}=ar{ar{X}}-A_{2}ar{R}$ （公式2）

$UCL_{ar{R}}=D_{4}ar{R}$ （公式3）

$LCL_{ar{R}}=D_{3}ar{R}$ （公式4）

如果採用的是 $ar{X}-s$ 控制圖， $ar{X}$ 和 $s$ 的控制限變成

$UCL_{ar{X}}=ar{ar{X}}+A_{3}s$ （公式5）

$LCL_{ar{X}}=ar{ar{X}}-A_{3}s$ （公式6）

$UCL_{s}=B_{4}s$ （公式7）

$LCL_{s}=B_{3}s$ （公式8）

$ar{X}$ 控制限的公式比較好理解，因為控制限是由平均值 $pm3sigma$ 來決定的，但可能很多初學者都會對 $R$ 和 $s$ 的控制限的計算公式有一個疑惑：為什麼 $R$ 和 $s$ 的控制限不是平均值 $pm$ 3個標準的形式？這裡來說明一下它們的控制限的計算公式是怎麼來的。

在說明這個問題時，需要介紹幾個公式先：

$d_{2}=frac{ar{R}}{sigma_{X}}$ （公式9）

$c_{4}=frac{ar{s}}{sigma_{X}}$ （公式10）

即一個總體的標準差 $sigma_{X}$ ，與子組的平均極值 $ar{R}$ 或平均標準偏差 $ar{s}$ 存在一定關係， $d_{2}$ 和 $c_{4}$ 分別為兩者的係數；

$d_{3}=frac{sigma_{R}}{sigma_{X}}$ （公式11）

$sqrt{1-c_{4}^{2}}=frac{sigma_{s}}{sigma_{X}}$ （公式12）

即一個總體的標準差 $sigma_{X}$ ，與子組極值的標準差 $sigma_{R}$ 或標準偏差的的標準差 $sigma_{s}$ 存在一定關係， $d_{3}$ 和 $sqrt{1-c_{4}^{2}}$ 分別為兩者的係數；

以上公式可以通過一些複雜的數學得到，此處不做糾結，只作為結論使用。

因為控制限是平均值 $pm$ 3個標準差，所以 $R$ 的上下控制限應該是

$ar{R}pm3sigma_{R}$

根據公式9和公式11，可以得到的上下控制限為

$ar{R}pm3sigma_{R}=ar{R}pm3d_{3}sigma_{X}=ar{R}pm3d_{3}frac{ar{R}}{d_{2}}=(1pmfrac{3d_{3}}{d_{2}})ar{R}$

令 $D_{4}=1+frac{3d_{3}}{d_{2}}$ ， $D_{3}=1-frac{3d_{3}}{d_{2}}$ 就得到了上面的公式3和4

同樣的，根據公式10和公式12，可以得出 $s$ 的上下控制限為

$ar{s}pm3sigma_{s}=ar{s}pm3sqrt{1-c_{4}^{2}}sigma_{X}=ar{s}pm3sqrt{1-c_{4}^{2}}frac{ar{s}}{c_{4}}=(1pm3frac{sqrt{1-c_{4}^{2}}}{c_{4}})ar{s}$

令 $B_{4}=1+3frac{sqrt{1-c_{4}^{2}}}{c_{4}}$ ， $B_{3}=1-3frac{sqrt{1-c_{4}^{2}}}{c_{4}}$ 就得到了上面的公式7和8。