線性代數: 線性空間與線性映射(3)

05-08

最後是一些非主線的問題.

無限直積 VS 無窮直和

上面我們提到, 對域 $F$ 上的線性空間 $V$ , 有 $dim Vleqdim V^*$ , 等號成立當且僅當 $dim V<infty$ . 設 $mathcal{B}$ 為 $V$ 的一組基, 則 $Vcong (F^{mathcal{B}})_0$ , $V^*cong F^{mathcal{B}}$ . 這個命題意即, 當 $|mathcal{B}|$ 無限時, $dim F^{mathcal{B}}>dim (F^{mathcal{B}})_0$ , 這實際上就是說, 非平凡線性空間的無窮直積的維數比無窮直和嚴格大. 對此, 我搜集了幾個證明. 首先說明一個要反覆用到的引理:

引理設 $F$ 是域, $V$ 是 $F$ -線性空間, 且 $V$ 是無限集, 則 $|V|=|F|cdot dim V$ .

欲證命題的困難之處在於證明 $dim F^mathcal{B}geq|F|$ . 下面的第一個證明利用Vandermonde行列式直接構造出 $F^mathcal{B}$ 上基為 $|F|$ 的線性無關集; 第二個證明通過取 $F$ 的子域降低基數, 巧妙地避開了這個問題; 第三個證明則迎難而上, 直接求出了 $dim F^mathcal{B}$ . 後兩種證法可以推廣到除環上的線性空間.

第一個證明來自 Bill Dubuque 在 sci.math 上的 post.

記 $d_1:=dim V$ , $d_2=dim V^*$ . 由引理有 $|V|=d_1|F|=max{d_1,|F|}$ , 同理 $|V^*|=max{d_2,|F|}$ . 又 $V^*cong F^{d_1}$ , 故 $|V^*|=|F|^{d_1}$ . 若證得 $d_2geq|F|$ , 則 $d_2=|V^*|=|F|^{d_1}geq2^{d_1}>d_1$ , 其中最後一步用到 Cantor 定理. 現取 $mathcal{B}$ 的任意可數子集 ${e_i}_{iinmathbb{N}}$ . 對任意 $0 eqlambdain F$ , 定義 $f_lambdain V^*$ 為 $f_lambda(e_n):=lambda^n$ ; $f_lambda(v):=0$ , $vinmathcal{B}setminus{e_i}_{iinmathbb{N}}$ . 由 Vandermonde 行列式知 ${f_lambdain V^*:0 eqlambdain F}$ 在 $V^*$ 上線性無關, 故 $d_2geq|F|$ (當 $F$ 有限時顯然成立), 證畢.

第二個證明來自 S. Roman (GTM 135), suggested by Richard Foote. 想法是: 若 $Ksubseteq F$ 是可數子域, 則 $dim (F^mathcal{B})_0=dim(K^mathcal{B})_0<dim K^mathcal{B}leqdim F^mathcal{B}$ . 中間的嚴格不等式由 $|(K^mathcal{B})_0|=|mathcal{B}|<|K^mathcal{B}|$ 得. 取 $K$ 為 $F$ 的素域即可. 具體步驟就不寫了.

第三個證明來自 N. Jacobson (GTM 31), 基於下面的結果. 來源參考這個問題.

定理 (Erd?s–Kaplanski) 設 $F$ 是域, $V$ 是無限維 $F$ -線性空間, 則 $dim V^*=|V^*|$ .

證明由引理有 $|V^*|=|F|dim V^*$ , 故只需證明 $dim F^mathbb{N}geq|F|$ . 證明的關鍵就是通過取 $F$ 的素域, 把基域的勢降下來, 降成可數的. 設 $mathcal{B}$ 是 $F^mathbb{N}$ 的一組基, 且 $|mathcal{B}|<|F|$ . 我們將用 $pi_i(b)$ 表示 $bin F^mathbb{N}$ 的第 $i$ 個坐標. 取 $F$ 的素域 $K$ , 記 $K_1:=KBig({pi_i(b):binmathcal{B},iinmathbb{N}}Big)$ , 則 $|K_1|<|F|$ . $F$ 作為 $K_1$ 線性空間是無限維的, 故存在 $xin F^mathbb{N}$ 使得其坐標 $K_1$ -線性無關. 設 $extstyle x=sum_{i=1}^n mu_ib_i$ , 其中 $b_iinmathcal{B}$ , $mu_iin F$ . 注意到, 存在 $lambda_jin K_1 (0leq jleq n)$ 使得 $extstyle sum_{j=0}^nlambda_jpi_j(b_i)=0$ , 任意 $1leq ileq n$ , 故 $extstyle sum_{j=0}^nlambda_jpi_j(x)=0$ , 這與 $x$ 的定義矛盾.

於是 $dim V^*=|V^*|=|F|^{|mathcal{B}|}geq2^mathcal{|B|}>|mathcal{B}|=dim V$ .

作為 Erd?s–Kaplanski 定理的推廣, 我們證明更一般的結論:

命題設 $F$ 是域, ${V_i}_{iin I}$ 是一族非平凡 $F$ -線性空間, $I$ 為無限集, $extstyle V=prod_{iin I}V_i$ . 則 $dim V=|V|$ .
證明由上面 Erd?s–Kaplanski 定理的證明, 有 $dim Vgeqdim F^Igeqdim F^mathbb{N}geq |F|$ , 故 $|V|=|F|cdot dim V=dim V$ .

用有限個真子空間覆蓋線性空間

下設 $D$ 是除環, $V$ 是左 $D$ -線性空間. 許多線代書上都有這樣一個習題:

設 $S,Tleq V$ 使得 $Scup Tleq V$ , 證明 $Sleq T$ 或 $Tleq S$ .

一個自然的問題是, 如果是三個或更多個子空間會怎樣? 即:

設 $S_ileq V (iin I)$ 滿足 $igcup_{iin I}S_ileq V$ , 是否一定有某個 $S_j$ 使得 $S_ileq S_j,forall iin I$ ?

這就是線性空間被其真子空間覆蓋的問題. 這裡只考慮 $I$ 有限的情形.

這個命題對 $|I|=3$ 就不成立了, 反例是 Klein 四元群 $mathrm{V}$ , 視為 $mathbb{F}_2$ 上的線性空間. 實際上, 覆蓋的子空間數受 $|D|$ 控制:

命題設 $S_i<V (1leq ileq m)$ 使得 $V=igcup_{i=1}^mS_i$ , 則 $mgeq|D|+1$ . 特別地, 無限除環上的線性空間不可被其有限個真子空間覆蓋.
略證不妨設 $S_1 otsubseteqigcup_{i=2}^mS_i$ (注意這裡用到 $I$ 有限), 取 $v otin S_1$ , $uin S_1setminusigcup_{i=2}^mS_i$ . 考慮 $L:={v+ru:rin D}$ , 證 $|S_1cap L|=varnothing$ 且 $|S_icap L|leq 1 (2leq ileq m)$ .

這個估計是不是最佳的呢? 由 Wedderburn 小定理, 只需考慮有限域, 而對 $mathbb{F}_q$ , 我們有 $mathbb{F}_q^2=igg(igcup_{rinmathbb{F}_q}iglangle(1,r)ig angleigg)cupiglangle(0,1)ig angle$ 被 $q+1$ 個真子空間覆蓋. 對任意模是否有這個估計呢? 顯然不是, 比如不循環的有限 Abel 群(即 $mathbb{Z}$ -模)都可以被有限個真子群覆蓋.

由於水平有限, 許多問題只能學到粗淺的內容, 因此在這裡總結一下這篇筆記中希望以後能更深入地了解的問題:

如果不要求是幺模, 即去除 $1_Rcdot m=m$ 這個條件, 會產生怎樣的變化?
IBN 及其相關的性質, 例如: 在怎樣的模中, 任意線性無關集都可擴充為一組基, 任意生成集都包含一組基? 在怎樣的模中, 任意線性無關集的基數都不大於秩, 任意生成集的基數都不小於秩?
怎樣的模是自反模? 目前只能給一些充分條件.
證明 $mathbb{Z^N}$ 不是自由 Abel 群. Hungerford 說參見 L. Fuchs, Infinite Abelian Groups, p.168, 以後再看吧…
感覺對 Erd?s–Kaplanski 的證明理解的不太好, 有機會看看原書.