[概率]正態分布的基本性質

05-08

正態分布的基本性質

TLDR:

$X sim Normal$ 的主要意義在於 $P(x) propto e^{-z^2}$ ，其中變數z是x的拉伸變換。 $z=frac{x}{k}$
概率密度函數的歸一化要求 $E[1]=1$ ，這提供了第一個約束條件。
同樣地，對二階矩的考察 $E[X^2]-E^2[X]=sigma^2$ 提供了第二個約束條件。
如果只考慮拉伸變換，則隱含了 $E[X]=0$ 。顯式地考慮 $E[X]=mu$ ，給出了第三個約束條件。

引理: $int^{+infty}_{-infty}e^{-z^2}dz=sqrt{pi}$

1. 顯式化正比關係

$P(x) =c e^{-z^2}~~~,z=frac{x}{k}$

2. 歸一化約束

$egin{aligned} E[1]=1 \ int P(x)=1 \ int^{+infty}_{-infty} ce^{-z^2}dx = 1 \ int^{+infty}_{-infty} ce^{-z^2}d(kz) = 1 \ ckint^{+infty}_{-infty} e^{-z^2}d(z) = 1 \ cksqrt{pi}=1 \ alt. ~~c=frac{1}{sqrt{pi}} frac{1}{k} end{aligned}$

3. 二階矩約束:

$egin{aligned} E[X^2]-E^2[X]=sigma^2 \ but~E[X]=0 \ E[X^2]=sigma^2 \ int c e^{-z^2} x^2.dx = sigma^2 \ cint (frac{de^{-z^2}}{dz}cdotfrac{1}{-2z}) (kz)^2.d(kz) = sigma^2 \ frac{ck^3}{-2}int (frac{de^{-z^2}}{dz}) z.dz = sigma^2 \ frac{ck^3}{-2}left{[e^{-z^2}z]^ {+infty}_{-infty} - int ^ {+infty}_{-infty} e^{-z^2}.dz ight} = sigma^2 \ frac{ck^3}{-2} (0-(-sqrt{pi}))= sigma^2 \ frac{ck^3}{2} sqrt{pi}= sigma^2 \ But~~ cksqrt{pi}=1 \ frac{k^2}{2}=sigma^2 end{aligned}$

4. 一階矩約束:

$egin{aligned} & left { egin{aligned} E[X]&=mu \ P(X&=x) = ce^{-z^2}\ z&= frac{x-mu}{k} end{aligned} ight . \ &E[X] = int xP(x).dx \ &E[X] = int (kz+mu)ce^{-z^2}.d(kz+mu) \ &E[X] = int (kz)ce^{-z^2}.d(kz) + int (mu) ce^{-z^2} .d(kz) \ &E[X] = 0 + mu int ce^{-z^2} .d(kz) \ &E[X] = 0 + mu int P(x) .d(x) \ &E[X] = mu end{aligned}$

綜上，正態分布是以 $P(x) propto e^{-z^2}$ 為核心的，用一階矩和二階矩參數化的一種一維概率分布。