基礎群論(四): 次正規列上

05-08

這篇筆記介紹Jordan–H?lder定理與可解群和冪零群的簡單性質.

我們的出發點是這樣一個概念: $G$ 的次正規列(subnormal series)是指一列子群 $G=H_0 hd H_1 hdcdots hd H_m=1$ , 其中 $H_i/H_{i+1}$ 稱為其因子(factor), 非平凡的因子數稱為其長度(length). 在術語上, 這與之前定義的次正規子群是相符的.

需要注意的是, 正規子群是不具傳遞性的, 因此次正規列中的子群不一定是 $G$ 的正規子群. 列中子群均為 $G$ 的正規子群的次正規列稱為正規列(normal series).

下面討論三種特殊的次正規列.

合成列

非平凡因子均為單群或平凡群的次正規列稱為合成列(composition series). 此即次正規列 $G=H_0 hd H_1 hdcdots hd H_m=1$ 中對任意 $i$ , $H_i=H_{i+1}$ 或 $H_{i+1}$ 是 $H_i$ 的極大正規子群. 群論中的極大、極小有時需排除平凡情況, 如此處極大指除 $G$ 本身外的正規子群中的極大, 而極小則可能要排除平凡子群的情況等.

容易看出, 有限群必有合成列. Abel群有合成列當且僅當它有限. 特別地, $mathbb{Z}$ 無合成列. 但無限群也可能存在合成列, 例如 $mathbb{N}$ 的有限支撐的偶置換群 $A_infty$ 有合成列, 事實上它本身就是單群.

對於一個有合成列的群 $G$ , 其合成列不一定唯一, 但Jordan–H?lder定理告訴我們其因子總是唯一的. 首先我們定義: 若 $G$ 的兩個次正規列的非平凡因子集間存在一個雙射, 使得對應的因子同構, 則稱這兩個次正規列等價(equivalent). 我們有

定理 (Jordan–H?lder) 任意群 $G$ 的任意兩個合成列等價.

Jordan–H?lder定理可以看作一種唯一分解定理. 事實上, 對 $mathbb{Z}_n$ 使用Jordan–H?lder定理就得到算術基本定理中素因子分解的唯一性. 注意Jordan–H?lder定理並沒有斷言 $G$ 存在合成列.

設群 $G$ 有合成列, 則合成列的因子稱為 $G$ 的合成因子(composition factor), 合成列的長度稱為 $G$ 的合成長度(composition length). 由Jordan–H?lder定理, 這兩個概念都是良定的.

我們需要下面的定義: 設 $G=H_0 hd H_1 hdcdots hd H_m=1$ 是 $G$ 的次正規列, 則其精細(refinement)是指次正規列 $G=G_0 hd G_1 hdcdots hd G_n=1$ , 使得 $H_0,ldots,H_m$ 是 $G_0,ldots,G_n$ 的子列.

正如之前所說, 我們將用到Zassenhaus的蝴蝶引理. 為方便, 在這裡複述一遍.

引理 (Zassenhaus) 設 $Alhd A^*$ , $Blhd B^*$ 為 $G$ 的子群. 則 $A(A^*cap B)lhd A(A^*cap B^*)$ , $B(B^*cap A)lhd B(B^*cap A^*)$ , 且 $frac{A(A^*cap B^*)}{A(A^*cap B)}congfrac{B(B^*cap A^*)}{B(B^*cap A)}$ .

下面是關於精細的基本定理.

定理 (Schreier精細定理) 任意群 $G$ 的任意兩個次正規列有等價的精細.
證明設 $G=G_0geq G_1geqcdotsgeq G_n=1$ 與 $G=H_0geq H_1geqcdotsgeq H_m=1$ 是兩個次正規列. 定義 $G_{i,j}:=G_{i+1}(G_icap H_j)$ , $H_{i,j}:=H_{j+1}(H_jcap G_i)$ , 其中 $0leq jleq m$ . 由Zassenhaus引理有 $G_{i,j}/G_{i,j+1}cong H_{i,j}/H_{i+1,j}$ , 即 $G_{0,0}geq G_{0,1}geqcdotsgeq G_{0,m}geq G_{1,0}geqcdotsgeq G_{n-1,0}geqcdotsgeq G_{n-1,m}=1$ 與 $H_{0,0}geq H_{1,0}geqcdotsgeq H_{n,0}geq H_{0,1}geqcdotsgeq H_{0,m-1}geqcdotsgeq H_{n,m-1}=1$ 為其等價的精細.

有了Schreier精細定理後Jordan–H?lder定理就很顯然了.

注意上面的證明中只有Zassenhaus引理用到了正規這一性質, 而Zassenhaus引理又來源於同構定理. 事實上, 若把正規換成其他的性質, 若相應的同構定理成立, 就有相應的包括Jordan–H?lder定理在內的一系列結果成立. 下節我們將引入運算元群的概念來完成這個推廣.

Jordan–H?lder定理有限群的情況可以歸納證明.

證明設 $G=G_0 hd G_1 hdcdots hd G_n=1$ 與 $G=H_0 hd H_1 hdcdots hd H_m=1$ 是兩個次正規列. 我們對 $|G|$ 歸納. 不妨設 $G_1, H_1<G$ . 若 $G_1=H_1$ , 則由歸納假設易證. 下設 $G_1 eq H_1$ , 記 $K=G_1cap H_1$ . 則 $G=G_1H_1$ , 且由第二同構定理有 $G/G_1cong H_1/K$ , $G/H_1cong G_1/K$ 均為單群. 取 $K$ 的合成列 $K=K_2 hd K_3 hdcdots hd K_l=1$ , 則獲得 $G$ 的四個合成列:
(a) $G=G_0 hd G_1 hdcdots hd G_n=1$ ,
(b) $G=G_1 hd K_2 hd K_3 hdcdots hd K_l=1$ ,
(c) $G=H_1 hd K_2 hd K_3 hdcdots hd K_l=1$ ,
(d) $G=H_0 hd H_1 hdcdots hd H_m=1$ .
(a)與(b), (c)與(d)為已討論的情況, 而(b)與(c)顯然等價, 故(a)與(d)等價.

一般地, 若 $G$ 有合成列, $Hlhd G$ , 對次正規列 $G hd H hd1$ 運用Schreier精細定理就得到 $G$ 有一個合成列使得 $H$ 是列中的一個子群, 故 $H$ 與 $G/H$ 都有合成列. 但若 $Kleq G$ , 則 $K$ 不一定有合成列. 反例: $mathrm{PSL}_2(mathbb{R})$ 有子群同構於 $mathbb{Z}$ .

一個自然的問題是知道 $K$ 和 $Q$ 後, 是否能求得同構意義下所有的 $G$ , 使得存在 $Klhd G$ , 滿足 $Kcong K$ 且 $G/Kcong Q$ ? 這樣的 $G$ 稱為 $Q$ 對 $K$ 的擴張(extension). 如此我們便能從 $G$ 的合成因子還原出 $G$ . 特別地, 有了有限單群分類工作後便能歸納地求得所有有限群的結構.

現在可以知道的是 $K imes Q$ 顯然是 $Q$ 對 $K$ 的擴張, 但這不是唯一的答案. 反例: $S_3$ 是 $mathbb{Z}_2$ 對 $mathbb{Z}_3$ 的擴張, 但 $S_3 otcongmathbb{Z}_3 imesmathbb{Z}_2$ .

交換子

交換子的概念將在下面的討論中用到. 在後面的筆記中我們將用交換子導出更多有用的結論, 而這裡只做一個簡單的介紹, 目的是引入記號和簡化計算.

設 $x,yin G$ , 則 $[x,y]:=x^{-1}y^{-1}xy$ 稱為其交換子(commutator). 歸納地定義記號 $[x_1,x_2,ldots,x_n]:=[[x_1,ldots,x_{n-1}],x_n]$ . 下面是一些交換子的恆等式:

命題設 $x,y,zin G$ .
(i) $[x,y]=[y,x]^{-1}$ .
(ii) $[xy,z]=[x,z]^y[y,z]$ , $[x,yz] = [x, z][x,y]^z$ .
(iii) $[x,y^{-1}]=([x,y]^{y^{-1}})^{-1}$ , $[x^{-1},y]=([x,y]^{x^{-1}})^{-1}$ .
(iv) (Hall–Witt恆等式) $[x, y^{-1},z]^y[y, z^{-1}, x]^z[z, x^{-1}, y]^x = 1$ .

對 $X,Ysubseteq G$ , 定義 $[X,Y]:=left<[x,y]:xin X,yin Y ight>$ . 歸納地定義 $[X_1,X_2,ldots,X_n]:=[[X_1,ldots,X_{n-1}],X_n]$ . 我們有 $[X,Y]=[Y,X]$ , 但有更多子集時它們的順序不能隨意更改. 一般 $[X,Y,Z] eqlangle[x,y,z]:xin X,yin Y,zin Z angle$ . 反例: 待補充.

特別地, $[G,G]$ 稱為 $G$ 的換位子群(commutator subgroup)或導群(derived subgroup), 記作 $G$ . 交換子本身的集合不一定成子群. 反例較複雜, 此處略去.

命題設 $X,Ysubseteq G$ , $H,Kleq G$ .
(i) $X^H=left<X,[X,H] ight>$ .
(ii) $[X,H]^H=[X,H]$ .

(iii) 若 $K=left<Y ight>$ , 則 $[X,K]=[X,Y]^K$ .
(iv) 若 $H=left<X ight>$ , $K=left<Y ight>$ , 則 $[H,K]=[X,Y]^{HK}$ .

下面的引理也會用到.

引理 (三子群引理) 設 $H,K,Lleq G$ , $Nlhd G$ . 若 $[H,K,L][K,L,H]leq N$ , 則 $[L,H,K]leq N$ .

由Hall–Witt恆等式容易證明這個引理.

再給出幾個交換子相關的小結論, 可用來簡化計算:

命題設 $H,Kleq G$ .
(i) $[H,K]lhdlangle H,K angle$ .
(ii) 若 $f:G o L$ 是同態, 則 $f([H,K])=[f(H),f(K)]$ . 特別地, 設 $Nlhd G$ , 則 $[overline{H},overline{G}]=overline{[H,G]}$ .
(iii) $Kleqmathbf{N}_G(H)$ 當且僅當 $[H,K]leq H$ ; $Kleqmathbf{C}_G(H)$ 當且僅當 $[H,K]=1$ .

可解列

因子均為Abel群的次正規列稱為可解列(solvable series). 存在可解列的群稱為可解群(solvable group). 這個概念來源於Galois理論, 但它在群論中也有研究價值.

導群與可解列的聯繫體現在下面的命題中:

命題設 $G$ 是群.

(i) $G$ 是 $G$ 的全不變子群.
(ii) $x,yin G$ 可交換當且僅當 $[x,y]=1$ . 特別地, $G$ 是Abel群當且僅當 $G=1$ .
(iii) 若 $Hlhd G$ , 則 $G/H$ 是Abel群當且僅當 $Gleq H$ .

我們歸納地定義 $G$ 的高階導群(higher commutator subgroups)如下: $G^{(0)}:=G$ , $G^{(i+1)}:=(G^{(i)})=[G^{(i)},G^{(i)}]$ . 由特徵子群的傳遞性, 任意階導群都是 $G$ 的特徵子群.

$G=G^{(0)} hd G^{(1)} hdcdots$ 稱為 $G$ 的導列(derived series). 當 $G$ 可解時, $G$ 的導列是下降最快的可解列, 且 $G$ 可解當且僅當其導列止於平凡子群 $1$ :

命題設 $G$ 是群.
(i) 若 $G=G_0geq G_1geqcdotsgeq G_n=1$ 是 $G$ 的可解列, 則對任意 $i$ , $G_igeq G^{(i)}$ .
(ii) $G$ 可解當且僅當存在 $ninmathbb{N}$ 使得 $G^{(n)}=1$ .

使得 $G^{(i)}=1$ 的最小的 $i$ 稱為 $G$ 的導長(derived length).

為了方便判斷可解群, 我們有

命題
(i) 若 $G$ 是可解群, $Hleq G$ , 則 $H$ 是可解群. 即可解群的子群是可解群.

(ii) 若 $G$ 是可解群, $Nlhd G$ , 則 $G/N$ 是可解群. 即可解群的商群(或同態像)是可解群.
(iii) 若 $Nlhd G$ , $N$ 與 $G/N$ 可解群, 則 $G$ 是可解群. 即可解群對可解群的擴張是可解群.

上面的命題既可以由定義證明, 也可以用導列的刻畫證明. 注意我們很容易求得命題中得到的可解群的導長的上界.

下面考慮有限可解群的一些性質.

命題設 $G$ 是有限可解群.
(i) $G$ 的合成因子為素數階循環群.
(ii) $G$ 的任意極小正規子群 $V$ 為初等Abel群, 且 $G$ 作為線性映射群作用在 $V$ 上.

對於有限可解群我們有Sylow定理的推廣:

定理 (Hall) 設 $G$ 為有限可解群, $|G|=ab$ , $gcd(a,b)=1$ , 則 $G$ 有 $a$ 階子群, 且 $G$ 的任意兩個 $a$ 階子群共軛.

Hall定理將在後面的筆記中討論.

下面是關於有限可解群階數的兩個著名定理:

定理 (Burnside) 設 $p,q$ 是素數, $alpha,etainmathbb{N}$ , 則 $p^alpha q^eta$ 階群為可解群.
定理 (Feit–Thompson) 任意奇數階群為可數群.

其證明遠遠超出了目前這個筆記的範圍.

中心列

正規列 $G=G_0 hd G_1 hdcdots hd G_n=1$ 稱為中心列, 若 $G_i/G_{i+1}leqmathbf{Z}(G/G_{i+1})$ 對任意 $i$ 成立.

歸納地定義 $gamma_1(G):=G$ , $gamma_{i+1}(G):=[gamma_i(G),G]$ , 則 $G=gamma_1(G) hdgamma_2(G) hdcdots$ 稱為 $G$ 的下中心列(lower central series)或降中心列(descending central series).

歸納地定義 $zeta^0(G):=1$ , $zeta^{i+1}(G)$ 滿足 $zeta^{i+1}(G)/zeta^{i}(G)=mathbf{Z}(G/zeta^i(G))$ , 即, 設 $pi_i:G o G/zeta^i(G)$ 是標準投影, 則 $zeta^{i+1}(G):=pi_i^{-1}(mathbf{Z}(G/zeta^i(G)))$ . $1=zeta^0(G) hdzeta^1(G) hdcdots$ 稱為 $G$ 的上中心列(upper central series)或升中心列(ascending central series).

易知上、下中心列中的子群都是 $G$ 的特徵子群.

易得:

引理設 $Klhd G$ , $Kleq Hleq G$ , 則 $[H,G]leq K$ 當且僅當 $H/Kleqmathbf{Z}(G/K)$ .

有理由猜測, 中心列、下中心列和上中心列有緊密的聯繫. 事實正如此.

命題設 $G$ 是群, 則以下三個命題等價:
(i) $G$ 有中心列.
(ii) 存在 $ninmathbb{N}$ 使得 $gamma_{i+1}(G)=1$ .
(iii) 存在 $ninmathbb{N}$ 使得 $zeta^i(G)=G$ .

當三者之一成立時, 設 $G=G_0 hd G_1 hdcdots hd G_n=1$ 為 $G$ 的中心列, 並記使 $gamma_{i+1}(G)=1$ 的最小的 $i$ 為 $c$ , 則對任意 $i$ 有 $gamma_{i+1}(G)leq G_{i+1}leqzeta^{c-i}(G)$ .

滿足上述條件的群稱為冪零群(nilpotent group), 其中 $c$ 稱為其冪零類(nilpotent class).

容易證明, 冪零群必為可解群, 但反之則不一定成立. 反例: $S_3$ .

同樣地, 為了方便判斷冪零群, 我們有

命題
(i) 若 $G$ 是冪零群, $Hleq G$ , 則 $H$ 是冪零群. 即冪零群的子群是冪零群.
(ii) 若 $G$ 是冪零群, $Nlhd G$ , 則 $G/N$ 是冪零群. 即冪零群的商群(或同態像)是冪零群.
(iii) 若 $H,K$ 是冪零群, 則 $H imes K$ 是冪零群. 即冪零群的有限直積是冪零群.

我們同樣可以求得上述命題中得到的冪零群的冪零類的上界, 此處略去.

但冪零群對冪零群的擴張不一定是冪零群, 即 $G/H$ 與 $H$ 是冪零群不能推出 $G$ 是冪零群. 反例: $A_3lhd S_3$ .

另外給出兩個判斷冪零群的準則:

定理 (Fitting) 設 $H,Klhd G$ , $H,K$ 為冪零群, 則 $HK$ 為冪零群, 且其冪零類小於等於 $H$ 與 $K$ 的冪零類之和.

證明設 $H,K$ 分別為 $m,n$ 類冪零群. 歸納證 $gamma_i(HK)$ 為所有形如 $[X_1,ldots,X_i]$ 的子群的乘積, 其中任意 $X_j=H$ 或 $K$ . 故 $gamma_{m+n+1}(G)leqgamma_{m+1}(H)$ 或 $gamma_{n+1}(K)$ .

對於有限群的情況, Fitting定理也可用Fitting子群簡單地證明. Fitting子群的內容將在Sylow理論部分給出.

定理 (Hall) 設 $Nlhd G$ , $N$ 與 $G/N$ 為冪零群, 則 $G$ 為冪零群.
證明待補充.

冪零群有下面的性質:

命題設 $G$ 是冪零群.
(i) 設 $1 eq Hlhd G$ , 則 $Hcapmathbf{Z}(G) eq1$ . 特別地, $mathbf{Z}(G) eq1$ , 且 $G$ 的任意極小正規子群包含在 $mathbf{Z}(G)$ 內.
(ii) 設 $A$ 是 $G$ 的極大正規Abel子群, 則 $A=mathbf{C}_G(A)$ .
(iii) $G$ 的子群均為次正規子群.
(iv) $G$ 滿足正規化子條件(normalizer condition), 即若 $H<G$ , 則 $H<mathbf{N}_G(H)$ .
(v) $G$ 的極大子群均為正規子群.

上面的一些性質可以用來刻畫有限冪零群. 我們有

命題設 $G$ 是有限群, 則下述條件等價:
(i) $G$ 是冪零群.
(ii) $G$ 的子群均為次正規子群.
(iii) (正規化子條件) 若 $H<G$ , 則 $H<mathbf{N}_G(H)$ .
(iv) $G$ 的極大子群均為正規子群.
(v) $G$ 是其非平凡Sylow子群的直積.

這裡(v)的證明要用到Sylow理論部分的內容. 因為不太困難, 略去證明.

暫時不討論無限冪零群的內容. 我們只提一下, 對於無限群, (ii)~(iv)都比(i)弱.

回到上、下中心列. 用三子群引理可以得到

命題設 $i,jinmathbb{N}_+$ .
(i) $[gamma_i(G),gamma_j(G)]leqgamma_{i+j}(G)$ .
(ii) $gamma_i(gamma_j(G))leqgamma_{ij}(G)$ .
(iii) $jgeq i$ 時 $[gamma_i(G),zeta^j(G)]leqzeta^{j-1}(G)$ .
(iv) $zeta^i(G/zeta^j(G))=zeta^{i+j}(G)/zeta^j(G)$ .