經典力學例子（1）——弦線的波動方程

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我們在大一的學習力學時就見到了波動方程 $frac{partial^2 y }{partial t^2}=v^2frac{partial^2 y }{partial x^2}$ 。

那時候我們還很年輕，用了naive的牛頓力學得到一維弦線的波動方程。而現在學了拉格朗日力學的我們，見識了經典力學的巨大威力，甚至可以用它去猜測定態薛定諤方程。現在我們將嘗試利用處理動力學問題的一般方法去得到一維弦線的波動方程。

$y(x,t)$ 是弦線方程，就像處理質點系的 $q_i(t)$ 。我們的目的就是得到 $y(x,t)$ 。在這裡也可以看到如果我們把質點系的方程寫做 $q(i,t)$ ,i的數量也是力學系統的自由度。由此可以看出弦線的自由度是無限的。通過弦線方程我們可以確定任意時刻弦線狀態。

如果我們知道初始時刻弦線的位置和任意點的速度，就應該能得到弦線方程。

我們只討論線上的縱波所以 $frac{mathrm{d} x }{mathrm{d} t}=0$ 動能僅與y方向上的運動有關。並且認為弦線的伸長是微小的所以 $ho$ 為常數。得到弦線的總動能 $T=intfrac{1}{2}eta mathrm{d} x frac{partial y }{partial t}^{2}$ 。

利用 $F_T$ 恆定 $V=F_TDelta l=F_T(int_L mathrm{d} s-int mathrm{d} x)$ 計算曲線長度是利用泰勒展開。得到 $V=intfrac{1}{2}F_Tfrac{partial y }{partial x}^{2}mathrm{d} x$ 。

如果認為L=T-V這樣的變分是複雜的。而且T和V不僅對整段成立對弦線上的區間也成立。所以能寫出動能密度 $mathfrak{T}=frac{1}{2}eta frac{partial y }{partial t}^{2}$ 和勢能密度 $mathfrak{V}=frac{1}{2}F_Tfrac{partial y }{partial x}^{2}$ .。並令 $mathfrak{L}=mathfrak{T}-mathfrak{V}$ 。

對 $mathfrak{L}$ 作變分這是一個多元自變函數的泛函。

$delta iintmathfrak{L}mathrm{d} xmathrm{d} t=0$

根據歐拉公式 $F_mathfrak{L}-frac{partial }{partial x}F_p-frac{partial }{partial t}F_q=0 (p=y_x,q=y_t)$ 。

於是有 $frac{partial^2 y }{partial t^2}=frac{F_T}{eta}frac{partial^2 y }{partial x^2}$ 。

我們得到了這個波動方程。我們還可以給拉氏量增加其他的項去做其他有意思的事情。比如讓弦線處於重力場中。

中二的自己告訴我這個簡單的模型也許和其他東西有深刻的聯繫。一切還等著我們去探索。

P.S.封面圖片自己拍的。