山田的金融日記(8)-停時應用(1)

停時的概念一兩句話也說不清楚，也就是依賴某個時間點之前的信息就能確定地決定是不是這個隨機過程就停在這裡了。而一個隨機過程和一個停時就組成了一個停止過程。

性質略過

主要想記錄一下停時的可選抽樣第二定理(Optional Sampling Theorem II)。

設 , n = 0, ... , N 是一個鞅， 是一個停時，則

一開始看到這個也沒大多想，也沒細糾結有什麼用，最近看到的一道/類題可以更好地去麗姐這個定理。

經典概率問題：

平均扔多少次硬幣才能扔到連續3個正面。

之前在課上老師給我們講了2個正面的情況的巧妙處理方法，而3個就不能夠用他的方法來做。那有沒有general一些的n個正面的方法呢，就是用停時。

想用停時首先製造鞅過程。停時很明確，根據已有條件就可以決定是否停止也就是 。

把遊戲規則擴充一下，H我的賭注翻倍，T則賭注全輸。我的開始資產為0，且資產可負。這樣在沒有停時的情況下就是一個鞅因為我的財產均值永遠是0。

而加上停時我可以再加一個策略在我的賭局上，那就是我每次賭1塊，如果我扔到一個H，我的賭注變為3塊，如果我連續扔到兩個H，那賭注就從3塊變為7塊，三次H遊戲結束。這仍然是一個鞅過程（可選抽樣定理1：一個鞅過程停止在一個停時，得到的仍然是一個鞅過程）

3和7怎麼來的，就是如果我扔到一個H後再扔到一個T的時候遊戲重回到了起點，我的H相當於沒有用了，那我希望我的財產跟我一路扔T的那條路徑的財產一樣，以免某些路徑贏在起跑線上。

那樣我在停時n的財產數量變為3次H-前面(n-3)次的T=>1+3+7-(n-3)=14-n

然後既然我在任何時刻n都是個鞅，套用抽樣定理2，我的

如果是四次很簡單直接可算

這類問題就可以直接腦補啦

參考文獻：

金融隨機分析-shreve

Quant Job Interview Questions and Answers --Mark S.Joshi