導體邊界條件-趨膚效應、金屬紫外透明效應、輻射壓

05-07

導電介質與非導電介質的主要區別在於導電介質中由於自由電子的存在，電磁波存在時引起傳導電流 $mathbf{J}$ 。

$mathbf{J} =sigma mathbf{E}$

$mathbf{D} =varepsilonmathbf{E}$

$abla cdotmathbf{D} = ho$

$abla cdotmathbf{J} = abla(sigma mathbf{E})=sigma abla mathbf{E} =frac{sigma abla mathbf{D} }{varepsilon}=frac{sigma ho}{varepsilon}$

根據

$abla imes( abla imes mathbf{E} )= abla cdot( abla cdotmathbf{E} )- abla ^2mathbf{E}$ $abla imes( abla imes mathbf{E} )= abla imes(-frac{partial}{partial t} mathbf{B})=-frac{partial}{partial t} ( abla imes mathbf{B} )=-frac{partial}{partial t} (mu varepsilon frac{partial}{partial t} mathbf{E} +mumathbf{J})=-mu varepsilon frac{partial^2}{partial t^2} mathbf{E} -mufrac{partialmathbf{J}}{partial t}=-mu varepsilon frac{partial^2}{partial t^2} mathbf{E} -musigmafrac{partial mathbf{E}}{partial t}$

得到

$abla ^2mathbf{E} -mu varepsilon frac{partial^2}{partial t^2} mathbf{E} -musigmafrac{partial mathbf{E}}{partial t}=0$

假設電場

$mathbf{E}=E_0e^{i(vec{k} cdot vec{r} - omega t)}$ ，代入波動方程得

$-vec{k}^2+omega^2varepsilon mu + i mu sigma omega=0$

假設令

$vec{k}=vec{eta}+i vec{alpha}$

$k^2=eta^2-alpha^2+2i(vec{eta}cdot vec{alpha})=omega^2 varepsilon mu + i mu sigma omega$

得到

$eta ^2 -alpha ^2 =omega^2 varepsilon mu$

$2 vec{eta} cdot vec{alpha}= mu sigma omega$

解這個方程得到

$alpha=omegasqrt{muvarepsilon}sqrt{frac{1}{2} [ sqrt{1+(frac{sigma}{omegavarepsilon})^2} -1]}$

$eta=omegasqrt{muvarepsilon}sqrt{frac{1}{2} [ sqrt{1+(frac{sigma}{omegavarepsilon})^2} +1]}$

$E(r,t)=E_0 e^{-alpha r}e^{i(eta r -omega t)}$

它是一個衰減的波，隨著波折射入金屬內距離的增大，波的振幅按指數衰減.這是由於電磁場在金屬表面引起表層電流，從而場的能量不斷耗散為焦耳熱所致.折射波振幅的衰減由波矢量k的虛部α描述，而波傳播的位相關係由波矢量k的實部β描述。

設金屬表面為xy平面,,電場E沿x方向，矢分量α、β均沿z方向，則解為

$E_x(z,t)=E_0 e^{-alpha z}e^{i(eta z -omega t)}$ ?

顯然電場的形式為阻尼振蕩形式，波的振幅衰減到表面處振幅1/e的傳播距離稱為穿透深度。

當良導體時 $frac{sigma}{omegavarepsilon}gg1$

$alpha=eta=sqrt{frac{1}{2}omegasigmamu}$

$d=frac{1}{alpha}approx（frac{2}{sigmamuomega}）^{1/2}$

比如對於銅，

$sigma=5 imes10^7Sm^{-1}$

$μ=4π×10^{-7}H/m$

波長600nm 的可見光，頻率

$omega=2pi f=2*3.14*3.0*10^8/(6*10^-7) =3.14*10^{15}$ rad/s

得到穿透深度

$d=（frac{2}{sigmamuomega}）^{1/2}$ =3.19nm

對於可見光頻率範圍內的電磁波對良好導體的穿透深度只有3納米，顯然穿透深度和頻率密切相關，一定範圍內頻率越高的電磁波穿透深度越低,這種對於高頻電磁波、電磁場、電流僅集中於表面很薄一層的現象稱為趨膚效應。

因此,在通常情況下金屬是不透明的，但並不是說電磁波永遠是頻率越高對金屬穿透深度越低，那隻在滿足 $frac{sigma}{omegavarepsilon}gg1$ 時才成立。當不滿足此項條件時，有

$alpha=omegasqrt{muvarepsilon}sqrt{frac{1}{2} [ sqrt{1+(frac{sigma}{omegavarepsilon})^2} -1]}$

進行泰勒展開，得

$alphaapproxfrac{sigma}{2}sqrt{frac{mu}{varepsilon}}$ ， $etaapproxomegasqrt{muvarepsilon}$

代入方程 $d=frac{1}{alpha}$ 顯然衰減很小，穿透深度很大。

當電磁波振蕩頻率高於某個特定值，此時金屬在電磁波下是透明的。用 Drude 模型分析計算，鹼金屬在高頻紫外線下透明的最低頻率要求是

$u_p=dfrac{omega_p}{2pi}=frac{sqrt{dfrac{4pi ne^2}{m}}}{2pi}=dfrac{4pi ne^2}{m}=11.4 imesleft(dfrac{r_s}{a_0} ight)^{-3/2} imes 10^{15}$ Hz

頻率高於最低穿透頻率的紫外線、X射線、γ射線都可以穿透金屬，稱為金屬紫外線透明效應。一般機場地鐵的X射線安檢儀發出的x射線可以穿透行李箱內的金屬（非鉛）外殼，透視內部。

機場地鐵的X射線安檢儀

可見玻璃並不是永遠透明的，金屬也並不是永遠不透明的。

另外波長的變化

$frac{lambda_{金屬}}{lambda_{非金屬}}=frac{2pi/k_{金屬}}{2pi/k_{非金屬}}=frac{k_{非金屬}}{k_{金屬}}=frac{eta_{非金屬}}{eta_{金屬}}=frac{omegasqrt{varepsilonmu}}{sqrt{frac{omegavarepsilonsigma}{2}}}=sqrt{frac{2omegamu}{sigma}}$

輻射壓力

光子射向接受面時，壓強為

$p=frac{F}{A}=frac{dp}{dt}cdotfrac{1}{A}=frac{1}{c}cdotfrac{E_{光子能量}}{dtcdot A}=frac{<S>}{c}$

$<S >$ =坡印廷矢量

坡印廷矢量和光速的比值就是輻射壓，地球所收到的太陽輻射能量 $<S >=1.4 kw/m^2$

手掌正對著陽光受到的輻射壓為 $5 imes10^{-8}$ N,當然如果拿著鏡子反射陽光，光壓就是2倍。雖然輻射壓力對人類來說太小，但在天文學中卻起著巨大的作用，有的恆星系統大氣層就是靠著輻射壓和引力達到平衡來維持，如果輻射能量突然變大，可能將大氣層「吹走」。

再比如彗星的彗尾，太陽輻射產生的輻射壓力及太陽風是促成彗尾形成的兩股原動力，所以彗尾要在彗星接近太陽時才出現，彗尾的方向永遠背向太陽。當軌道偏心率極大的彗星向太陽靠近時，太陽風和太陽輻射將彗發物質吹走，形成背光的彗尾；當彗星向離開太陽的方向運動時，彗發和彗尾收縮。

白色部分的彗尾是太陽輻射壓力引起的，藍色部分是由於太陽風