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經典多普勒效應與相對論性多普勒效應

05-07

對於聲波，我們假設

聲波速 $u$

聲波長 $lambda$

聲波頻率 $u_0=frac{u}{lambda}$

最終得到 $u_耳=frac{upm u_人}{ump u_s} u_0$

可見聲源向者人運動，和人向著聲源運動是不一樣的。人以音速向著聲源運動得到頻率為2倍的聲波，但如果聲源以音速向著人運動，則會產生音爆，發出極大的聲音。

聲源以音速運動會產生音爆

對於電磁波來說，傳播不需要介質，且光速不變，經典多普勒效應對電磁波是不適用的

光源運動速度 $u_S$ ,光源端的光波周期 $T_0$ ,光源端的頻率 $u_0$

接收器端光波周期 $T$ ,接收器端的頻率 $u$

光源速度在光源和接收器連線上的速度分量是 $u_s cos heta$ ， $eta=frac{u_s}{c}$

根據相對論效應,

接收器端 $T=frac{T_0}{sqrt{1-eta^2}}$

接收器端波長 $lambda_接=（c-u_s cos heta）T$

接收器端的頻率 $u=frac{c}{lambda_接}=frac{c}{（c-u_s cos heta）T}=frac{c}{（c-u_s cos heta）T_0}sqrt{1-eta^2}=frac{sqrt{1-eta^2}}{1-frac{u_s cos heta}{C}} u_0=frac{sqrt{1-eta^2}}{1-eta cos heta} u_0$

光的縱向多普勒效應

光源相對接收器迎來， $heta=0$ ， $u=sqrt{frac{1+eta}{1-eta}} u_0$ ，頻率增加，藍移

光源背對接收器遠離， $heta=pi$ ， $u=sqrt{frac{1-eta}{1+eta}} u_0$ ，頻率減少，紅移

光的縱向多普勒效應

光源或接收器在二者聯線垂直方向上運動， $heta=frac{pi}{2}$ ， $u=sqrt{1-eta^2} u_0$

利用光的多普勒效應可以對汽車等運動物體進行測速，結合我們共振那一章講到的化學元素的共振吸收光譜，我們可以甚至可以測量並推算出宇宙天體的速度、周期、角速度、軌道半徑、質量等重要數據。

哈勃定律

通過研究來自遙遠星系光線的紅移從而可以星系的遠離速度，同時發現遠離速度與距離呈線性關係，而產生哈勃定律，其線性數學式：

$upsilon=H_0D$

$upsilon$ 是由紅移現象測得的星系遠離速率， $H_0$ 是哈勃常數， $D$ 是星系與觀察者之間的距離。

對於宇宙某一星系

$D=upsilon t_u=H_0D t_u$

可以得到宇宙的年齡

$t_u=frac{1}{H}$

代入哈勃常數（70(km/s)/Mpc(Mpc表示百萬秒差距，大約為300萬光年)），計算出宇宙大爆炸發生在大約140億年之前。這是簡化的估算模型，但基本的數量級是確定的。

引力紅移

電磁波在宇宙中發生紅移或藍移，並非完全因為多普勒效應的原因，還有重力（引力）位移效應。重力位移指的是光波或者其他波動從重力場源（如巨大星體或黑洞）遠離時，整體頻譜會往紅色端或藍色端方向偏移。

假設某個光子從質量為M,半徑為R星球表面向著徑向距離為r的接收器運動，光子能量的變化為：

$Delta w=GMm(frac{1}{r}-frac{1}{R})$

$mc^2=h u$

$Delta w=GMm(frac{1}{r}-frac{1}{R})=GMfrac{h u}{c^2}(frac{1}{r}-frac{1}{R})$

$Delta u=frac{GM u}{c^2}(frac{1}{r}-frac{1}{R})$

考慮到 $徑向距離為rgg 半徑R$

$Delta u=-frac{GM u}{c^2R}$

更簡化的計算，假設在地面上有光子從高度為 $l$ 的塔射向地面，頻率變化值為

$Delta u=frac{mgl}{h}=frac{h u gl}{c^2h}=frac{ u gl}{c^2}$

質量龐大的星球上所發出的光遠離星球時，會發生紅位移——從藍色偏到紅色

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