【常微】期末復慣用·基本概念、初等積分法

05-07

Warning：僅適用於我校期末複習。較之於數分的內容我覺得到後期深度會好一些，不過還是很基礎的東西。（現在來看得等到期末考試過後才會添上更深一點的知識233）

還會補充的內容：常數變易法，有關 $frac{dy}{dx}=f(y)$ 的解的局部唯一性的定理的證明，Ricccati方程，人口趨勢問題，捕食者與被捕食者問題

本次主要寫常微的基本概念以及恰當方程、變數分離方程、一階線性方程、初等變換法、積分因子法、相關應用。

·常微分方程

常微分涉及到的都是一元的函數，而這裡的變元 $y$ 必須是已經給定的函數，代表了一個「具體的意義」；多元的即為偏微分。對線性和非線性的方程（只需將 $x$ 看作常數再進行對未知量的按原有線性與非線性的判別即可）能夠區分，且知道微分方程特解與通解的區別。一般n階方程會包含n個獨立的任意常數，它的含義是Jacob行列式不為0。 n個任意常數的出現不妨看作從n階不斷解回原函數的過程中積分得來的副產物。以上作為基礎知識了解即可。

接著會涉及到初值問題/柯西問題，這是討論常微求解的起始點。在初值問題下，解的存在性、唯一性都是很值得討論的事情，這些都留給了本書第三章。而初值問題也將原本求得的曲線族化為了一條曲線，也就是說，n階方程的n個任意常數將由初值條件所確定，這是一個反解的問題，由確定的 $x$ 的值反推一組常數 $c$ ，我們不難想到這是由隱函數存在定理所保證的。

那麼，為了更好的刻畫一條初值問題的積分曲線（某微分方程的一個解），線素場的概念被引進，其通過畫出積分曲線上每點的切線方向的一條小線段從而勾勒出原積分曲線的大致圖形。後續還有通過歐拉折線來描繪，那是後話了。為了做出線素場，等斜線的運用會使之方便很多，方法是令 $f(x,y)=k$ ，先作出積分曲線斜率為 $k$ 處的分布情況，再推廣到所有情形。（這裡全是畫圖我也很絕望...不過並非很難理解，就這樣吧233）

接下來寫初等積分法。恰當方程、變數分離方程（特殊的恰當方程）、一階線性方程是我們在做初等積分法求解問題時要努力化成的模板，而一般所用的工具就是後面所提到的初等變換法、積分因子法、常數變易法。應用則是等角軌線族與正交軌線族，這裡只談正交軌線族。還有由此建立的數學模型包括人口模型、捕食者模型。

·恰當方程

這裡考慮的是對稱形式的 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ .如果 $P,Q$ 滿足 $frac{partial P}{partial y}=frac{partial Q}{partial x}$ ,則說它是一個恰當方程，可以化成全微分的形式即 $dphi(x,y)=0$ ,積分即可得出結果 $int_{x_0}^{x}P(x,y)dx+int_{y_0}^yQ(x_0,y)dy=C$ 或 $int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+int_{y_0}^yQ(x,y)dy=C$ .這裡用到的證明基礎是數分格林公式那一塊的東西，在期末數分複習筆記里會有涉及。

考試自然就是解一個恰當方程了。

·變數分離的方程

事實上，最開始我們接觸這一類方程的技巧是在大物（上）計運算元彈加速度、速度的時候，可看作特殊的恰當方程。 $x$ 與 $y$ 均可分別移到對應的微分形式中，再進行分別積分。嘗試滲透一些關於解的局部的存在與唯一性的東西，這裡只討論 $frac{dy}{dx}=f(y)$ （再複雜一點的我就不會寫啦，事實上書上沒提的多半不會），有如下定理：

設上述微分方程，其中 $f（y）$ 在 $y=a$ 的某鄰域內連續，且 $f(y)=oLeftrightarrow y=a$ .則在直線 $y=a$ 上每一點，方程的解是局部唯一的 $Leftrightarrow$ 瑕積分 $left|int_a^{apmvarepsilon}frac{dy}{f(y)} ight|=infty$ .

（證明日後補上）

這裡我們接著用這個定理引出一階線性方程的相關內容。

·一階線性方程

高代上如何理解線性、齊次的，這裡就如何理解，只需將x看成是常量。解一階非齊次線性方程 $frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$ 常用的方法是積分因子法與常數變易法，這裡先寫積分因子法，常數變易法日後補上。

積分因子法的思想是乘上一個式子後可以使之轉變為全微分的形式，那樣就又回到恰當方程的解法了。這裡的常規、模式化的積分因子是 $e^{int p(x)dx}$ ，個人覺得記住這裡就行了，最終通解的形式也可以自己推出來。而這個積分因子實際也是通過解齊次方程得來的靈感，它就是一階齊次方程的一個解。後面會更詳細的介紹這一類方法。